Условие задачи
Найдите четырёхзначное число, которое можно представить в виде суммы нескольких последовательных натуральных чисел наибольшим количеством способов.
Решение
Рассмотрим сумму k натуральных чисел, начиная с числа n.
+%2B+(n+%2B+2)+%2B+\dots+%2B+(n+%2B+k-2)+%2B+(n+%2B+k-1)=kn+%2B+\frac{k(k-1)}{2}=k\frac{2n+%2B+k-1}{2})
Рассмотрим два случая: для чётного и нечётного k.
a) k=2p
S=p(2n+2p-1)
б) k=2p+1
S=(2p+1)(n+p)
Итак, число S, являющееся суммой нескольких последовательных натуральных чисел, должно обязательно делиться на некоторое нечётное число.
Попробуем по имеющемуся нечётному множителю числа S определить, как оно представляется в виде такой суммы.
Пусть S=(2m+1)r
Тогда в случае а) получим систему
2m+1=2n+2p-1
r=p
Откуда:
n=m–r+1
p=r
Чтобы решение имело смысл, необходимо, чтобы выполнялось неравенство
m>r+1
В случае б) имеем систему:
2m+1=2p+1
r=n+p
Получим:
p=m
n=r–m
Условие для m r в этом случае:
r>m
Поскольку для любых чисел m, r всегда истинно ровно одно из ограничений, то для каждого нечётного множителя числа S получим ровно одно представление его в виде суммы последовательных натуральных чисел.
Заметим, что при этом учитывается сумма и из одного слагаемого – само число S, соответствующая разложению S=1*S. Сумм же из нескольких слагаемых на одну меньше, чем нечётных делителей числа S.
Для четырёхзначного числа наибольшее количество нечётных делителей – 24, столько их будет, к примеру, в числе 3465=3*3*5*7*11.
Поэтому его можно представить в виде суммы нескольких последовательных натуральных чисел 23-мя способами (и ещё один способ, как уже было сказано – это «сумма» из одного слагаемого 3465)
Интересно, что, скажем, во французской математической традиции, к натуральным числам относится и число 0. Если допускать суммы с нулём, можно будет увеличить максимальное число способов на один.
Для этого следует найти четырёхзначное треугольное число, имеющее 24 нечётных делителя. Одним из таких чисел будет 3*3*5*7*13=4095. Спасибо победителю олимпиады, Сергею Половинкину (e-science.ru) за интересное развитие сюжета задачи.
Найдите четырёхзначное число, которое можно представить в виде суммы нескольких последовательных натуральных чисел наибольшим количеством способов.
Решение
Рассмотрим сумму k натуральных чисел, начиная с числа n.
Рассмотрим два случая: для чётного и нечётного k.
a) k=2p
S=p(2n+2p-1)
б) k=2p+1
S=(2p+1)(n+p)
Итак, число S, являющееся суммой нескольких последовательных натуральных чисел, должно обязательно делиться на некоторое нечётное число.
Попробуем по имеющемуся нечётному множителю числа S определить, как оно представляется в виде такой суммы.
Пусть S=(2m+1)r
Тогда в случае а) получим систему
2m+1=2n+2p-1
r=p
Откуда:
n=m–r+1
p=r
Чтобы решение имело смысл, необходимо, чтобы выполнялось неравенство
m>r+1
В случае б) имеем систему:
2m+1=2p+1
r=n+p
Получим:
p=m
n=r–m
Условие для m r в этом случае:
r>m
Поскольку для любых чисел m, r всегда истинно ровно одно из ограничений, то для каждого нечётного множителя числа S получим ровно одно представление его в виде суммы последовательных натуральных чисел.
Заметим, что при этом учитывается сумма и из одного слагаемого – само число S, соответствующая разложению S=1*S. Сумм же из нескольких слагаемых на одну меньше, чем нечётных делителей числа S.
Для четырёхзначного числа наибольшее количество нечётных делителей – 24, столько их будет, к примеру, в числе 3465=3*3*5*7*11.
Поэтому его можно представить в виде суммы нескольких последовательных натуральных чисел 23-мя способами (и ещё один способ, как уже было сказано – это «сумма» из одного слагаемого 3465)
Интересно, что, скажем, во французской математической традиции, к натуральным числам относится и число 0. Если допускать суммы с нулём, можно будет увеличить максимальное число способов на один.
Для этого следует найти четырёхзначное треугольное число, имеющее 24 нечётных делителя. Одним из таких чисел будет 3*3*5*7*13=4095. Спасибо победителю олимпиады, Сергею Половинкину (e-science.ru) за интересное развитие сюжета задачи.