Пакет задач олимпиады Кенгуру №7: комбинаторика, среднее, цифры

Условия задач

Задача 32. Студент (11 класс), 3й уровень, 1999 год
Сколькими способами можно прочесть слово KANGAROO, двигаясь только вниз и вправо?

K A N G A R O O
A N G A R O O
N G A R O O
G A R O O
A R O O
R O O
O O
O
А:168; Б:224; В:128; Г:256; Д:328;


Задача 33. Юниор (9-10 классы), 3й уровень, 2002 год
Сколько существует таких четырёхзначных чисел, у которых сумма двух последних цифр и числа, образованного двумя первыми цифрами, равняется числу, образованному двумя последними цифрами? (Пример числа, удовлетворяющего данному условию: 6370, т.к. 7+0+63=70)
А:10; Б:45; В:50; Г:80; Д:90;

Задача 34. Кадет (7-8 классы), 3й уровень, 2005 год
Среднее арифметическое десяти различных положительных целых чисел равняется 10. Чему может равняться наибольшее среди этих чисел?
А:10; Б:45; В:50; Г:55; Д:91;

Задача 35. Школьник (5-6 классы), 3й уровень, 2003 год
В селе Кенгуровка есть две улицы: Яблочная и Грушёвая. Половина всех домов села расположены на Яблочной улице, а четверть – на Грушёвой. У каждого дома четыре окна: да белых, синее и красное. Каких окон больше: красных на Яблочной или белых на Грушёвой?
А: одинаково; Б: красных вдвое больше, чем белых; В: белых вдвое больше, чем красных; Г: невозможно определить; Д: ответ зависит от количества синих окон;

Задача 36. Малыш (3-4 классы), 3й уровень, 2000 год
Если мы умножим число 12345679 на 9, то получим число 111111111. Если мы умножим его на 18, то получим результат, который содержит только цифры 2. Если мы умножим это число на 27, то получим число, которое записывается только при помощи цифры 3. На какое число нужно умножить число 12345679, чтобы получить число из одних семёрок?
А:43; Б:53; В:63; Г:73; Д:83;

Решения

Задача 32.
Прочитав очередную букву, имеем 2 варианта: повернуть или вправо, или вниз. Т.к. всего возможных шагов будет 7, то слово KANGAROO можно прочесть 128-ю способами.

Параллельно можно заметить, что если подписать на каждой букве количество способов, которыми до неё можно дойти, то получим повёрнутый на бок треугольник Паскаля.
Ответ В:128;

Задача 33.
Пусть четырёхзначное число имеет вид 1000a+100b+10c+d, где a, b, c, d – натуральные числа и a>0. Тогда условие, выполнение которого требуется, можно записать как: c+d+10a+b=10c+d. Отсюда получаем: 10a+b=9c.

Следовательно, последняя цифра может быть любой, а число, образованное первыми двумя цифрами, должно быть в 9 раз больше третьей цифры. Значит третья цифра может быть равной 2, 3, … 9 (т.к. a>0), а четвёртая – 0, 1, … 9. Всего 8*10=80 вариантов.
Ответ Г:80;

Задача 34
Если среднее арифметическое десяти чисел равно 10, то их сумма равна 100. Десятое число будет наибольшим из возможных, когда остальные девять чисел будут наименьшими из возможных.

Поскольку они все различны, то это должны быть 1, 2, … 9, с суммой равной 45. Следовательно максимальное значение десятого числа равно 55.
Ответ Г:55;

Задача 35
На Яблочной улице домов вдвое больше, чем на Грушёвой. А в каждом доме белых окно вдвое больше, чем красных. Значит красных окон на Яблочной улице ровно столько же, сколько и белых на Грушёвой.
Ответ А: одинаково;

Задача 36.
Чтобы получить число из одних семёрок, нужно умножить 111111111 на 7, а это то же самое, если умножить 12345679 на 9*7=63.

Кстати, на свойствах 12345679, “числа без восьмёрки”, основано ещё несколько интересных математических трюков и фокусов. А чтобы понять, что в нём такого особенного, разделите 1 на 81.
Ответ В:63;