Пакет задач олимпиады Кенгуру №9: цифры, проценты, вероятность

Условия задач

Задача 42. Выпускник (11 класс), 3й уровень, 2009
Сколько существует 10-значных чисел, состоящих только из цифр 1, 2 и 3 таких, в которых соседние цифры отличаются на 1?
А: 16; Б: 32; В: 64; Г: 80; Д:100;


Задача 43. Юниор (9-10 классы), 3й уровень, 2009
На выборах мера города Кенгуруполя было зарегистрировано 2 кандидата. После обработки n% бюллетеней для голосования избирательная комиссия сообщила жителям, что кандидат А набрал 62% голосов, а кандидат В – 38% голосов. При каком минимальном целом n эти предварительные результаты выборов гарантируют победу кандидату А, если недействительных бюллетеней не будет? Мер избирается простым большинством.
А: 55;Б:62; В: 81; Г:  87; Д: 93;

Задача 44. Кадет (7-8 классы), 3й уровень, 2009
В уравнении K+A+N+G+A+R+O+O=56 разные буквы обозначают разные цифры, а одинаковые буквы – одинаковые цифры. Тогда значение суммы A+O равняется:
А: 18;Б:17; В: 16; Г: 15; Д: однозначно определить невозможно;

Задача 45 . Школьник (5-6 классы), 3й уровень, 2009
Дано 4 утверждения о натуральном числе А:
А делится на 5, А делится на 11, А делится на 55, А меньше 10. Известно, что два из них правильные, а другие два – неправильные. Тогда А равняется:
А: 0;Б:5; В: 10; Г: 11; Д: 55;

Задача 46. Малыш – 3,4 (3-4 классы), 3й уровень, 2009
Маша коллекционирует фотографии известных спортсменов. Количество фотографий, которые она собирает за каждый год равно количеству фото, собранных за два предыдущих года. В 2008 году она собрала 60 фотографий, а в этом – 69. Сколько фотографий собрала Маша в 2006 году?
А: 20;Б: 24; В: 36; Г: 40; Д: 48;

Задача 47. Малыш – 2 (2 класс), 3й уровень, 2009
Серёжа подбрасывал игральный кубик четыре раза и каждый раз записывал полученное число очков. Сложив эти числа, он получил 21 очко. Какое наибольшее количество раз могла выпадать тройка?
А: 0;Б: 1; В: 2; Г: 3; Д: 4;

Решения:

Задача 42
В записи таких чисел после единиц и троек обязательно должна идти двойка. После двоек может идти как единица, так и тройка. Таким образом, если первая цифра числа - 1, то вторая определяется однозначно, третья может быть одной из двух, четвертая – вновь однозначно, пятая – одна из двух вариантов и т.д.

Получается $2^4$ чисел, начинающихся на единицу. Столько же чисел будет начинаться на 3. Если же первой цифрой будет двойка, то вторая цифра – одна из двух, третья – однозначно и т.д., всего $2^5$ вариантов. Итого 16+16+32=64 числа.
Ответ В: 64

Задача 43
Следует рассмотреть самый неблагоприятный для А случай – все оставшиеся неподсчитанными бюллетени были поданы за кандидата В. Тогда за А подано 0,62n% голосов, а за В – 0,38n+100-n = 100-0,62n процентов.

Решая неравенство 0,62n>50 получаем, n>80,65. Минимальное целое n, удовлетворяющее этому неравенству равно 81.
Ответ В: 81

Задача 44
Сразу видно, что ответ 18 в этом числовом ребусе невозможен, т.к. цифры А и О различны. Проверим 17=9+8. Запишем уравнение ребуса так:
2(A+O)=56-(K+N+G+R)

Наименьшее значение правой части будет, если за согласными буквами будут спрятаны числа 7, 6, 5, 4. Тогда 2(8+9)=34=56-(7+6+5+4). Сходится. Однозначный ли это ответ? Если А+О=16=9+7, то значение 56-(K+N+G+R) не может быть меньше, чем 56-(8+6+5+4)=33. А нужно получить 32. И далее, снижая на 1 сумму А+О, значение выражения 2(А+О) снижается на 2, а правая часть уравнения нельзя будет уменьшить менее, чем на 1, и она будет отставать. Значит А+О=17 – однозначное решение данного числового ребуса.
Ответ Б: 17

Задача 45 
Если правильны первые 2 утверждения, автоматически становится верным и третье. И обратно: если верно третье (про делимость на 55), то отсюда следует, что А делится и на 5, и на 11. Значит из первых трёх утверждений верно лишь одно. Значит, верно и четвёртое утверждение: A<10.

А т.к. нет натуральных чисел, меньших 10 и делящихся на 11, то верным будет первое: А делится на 5. Следовательно, А=5.
Ответ Б: 5

Задача 46
В 2007 Маша должна была собрать 36 фотографий, чтобы в сумме с 60 фото, собранными в 2008 году получилось 96 фотографий 2009 года.

А в 2006 было собрано 60-36=24 фотографии. Обратите внимание, как тонко здесь для задачи 3-4 классов вводятся свойства последовательности Фибоначчи.
Ответ Б: 24

Задача 47
Какую наибольшую сумму очков мог получить Серёжа? 6*4=24. Полученная им сумма в 21 всего на 3 очка меньше максимальной.

А замена шестёрки тройкой также уменьшает максимальную сумму на 3. Поэтому тройка могла выпасть всего раз.
Ответ Б: 1