Продолжаем готовиться к ЗНО

По просьбе читателя блога разберём задание ЗНО по математике на показательные неравенства.

Условие

Решите неравенство $3 \cdot 9^x -2\cdot 15^x -5^{2x+1}>0$

Если у неравенства есть целые решения, укажите наибольшее из них. Если у неравенства есть решения, но невозможно указать наибольшее целое из них, то укажите в ответе число 50. Если решений нет, в ответ запишите число 100.

Решение

В каждом слагаемом есть неизвестное в показателе. Преобразуем их немного:

$3 \cdot 3^{2x} -2\cdot 3^x\cdot 5^x -5\cdot 5^{2x}>0$

Такое неравенство является однородным, т.к. справа 0, а в показателях везде по 2х. Разделим левую и правую часть на $5^{2x}$. Т.к. $5^{2x}>0$ всегда, то знак неравенства не изменится.

$\frac{3 \cdot 3^{2x}}{5^{2x}} -\frac{2\cdot 3^x\cdot 5^x}{5^{2x}} -\frac{5\cdot 5^{2x}}{5^{2x}}>0$

$3{\frac{3}{5}}^{2x} -2{\frac{3}{5}}^x -5>0$

Сделаем замену ${\frac{3}{5}}^x = t, t>0$

$3t^2-2t-5>0$

Находим корни:

$t_1=\frac{5}{3}, t_2=-1$ (Вот здесь написано, как решать по теореме Виета неприведённые квадратные уравнения)

Поскольку старший коэффициент 3>0, то множество решений неравенства:

$t\in(-\infty;-1)\cap\left(\frac{5}{3};+\infty\right)$

Учитывая, что t>0, получим: 

$t\in\left(\frac{5}{3};+\infty\right)$

Вернёмся к подстановке. Т.к. функция ${\frac{3}{5}}^x$ - убывающая, то границы промежутка поменяются местами и мы получим:

$x\in(-\infty;-1)$

Наибольшее целое число, принадлежащее данному промежутку - это число -2

Ответ: -2