Рассказ о суммировании бесконечных рядов начну анекдотом из математического фольклора, который я сегодня опубликовал на «Десяти Буквах»
В магазин пришло бесконечное множество математиков. Первый попросил килограмм сахара, второй - полкило, третий - четверть килограмма...
-Так! - прервал их продавец, - Забирайте свои два килограмма и проваливайте.
Итак, первый вопрос, который рассмотрим – почему сумма
равна двум.
Докажем этот факт двумя способами.
В первом способе вообще нет нужды оперировать с бесконечными последовательностями, поэтому его можно показать даже в 6 классах, сразу после изучения степеней.
Рассмотрим сумму
Прибавим к обеим частям дробь
. Получим:
Но
, так что
Затем схлопнется сумма двух дробей, каждая из которых равна
:
Сумма будет сворачиваться с правого края, как ряд костяшек домино. Закончится это выражением:
Так что
Понятно, что чем больше n, тем меньше S будет отличаться от двух.
Для решения вторым способом опять запишем искомую сумму
А также половину этой суммы:
B вычтем из первого равенства второе:
Все слагаемые, кроме первого, уничтожатся и мы получим:
Значит S=2.
Данный метод используется в общем виде для вывода формулы суммы геометрической прогрессии.
Итак, наш первый результат сегодня:
Рассмотрим теперь сумму
В конечном виде, скажем, до 1997 члена, она появлялась на олимпиадах для 7 или 8 класса.
В решениях предлагалось воспользоваться закономерностью:
И т.д.
Тогда сумма превращается в:
Что даёт нам единицу (Или
, если рассматривать только первые 1997 слагаемых.)
Но ключевой вопрос: как додуматься до этой закономерности? Оказывается, если в знаменателе дроби стоит произведение, то она представляется суммой дробей, у которых знаменатели раны множителям, входящим в это произведение.
В данном случае)}= \frac{A}{n}+%2B+\frac{B}{n+%2B+1})
Найдём эти А и В, сведя сумму обратно к общему знаменателю:
+%2B+Bn}{n(n+%2B+1)} = \frac{(A+%2B+B)n+%2B+A}{n(n+%2B+1)}= \frac{1}{n (n+%2B+1))})
Числители должны быть тождественно равны, поэтому
A+B=0 и A=1.
Значит B=-1. Отсюда и получаем соотношение:
)}= \frac{1}{n}-\frac{1}{n+%2B+1})
Такой подход применим и когда в знаменателях стоят более сложные произведения.
Итак, мы получили, что
Теперь рассмотрим, что выйдет, если знаменателями дробей будут степени двойки, а числителями – последовательные натуральные числа. (Аналогичная задача поднималась в статье о механическом генераторе случайных чисел.)
Найдём сумму
.
Это также можно сделать двумя способами. В первом обозначим искомую сумму как S, найдём её половину и вычтем половину из целого:
.
.
.
Значит S=4
Второй способ несколько более длинный, но построен на не менее красивой идее.
Запишем сумму в виде треугольника:
…
Так что искомая сумма равна
Итак, третий результат:
.
На сегодня достаточно. А через неделю рассмотрим, что будет, если в третьей сумме в числителях будут идти числа Фибоначчи, как Эйлер доказал, что сумма обратных квадратов равна одной шестой квадрата числа пи, и почему гармонической ряд расходится.
В магазин пришло бесконечное множество математиков. Первый попросил килограмм сахара, второй - полкило, третий - четверть килограмма...
-Так! - прервал их продавец, - Забирайте свои два килограмма и проваливайте.
Итак, первый вопрос, который рассмотрим – почему сумма
Докажем этот факт двумя способами.
В первом способе вообще нет нужды оперировать с бесконечными последовательностями, поэтому его можно показать даже в 6 классах, сразу после изучения степеней.
Рассмотрим сумму
Прибавим к обеим частям дробь
Но
Затем схлопнется сумма двух дробей, каждая из которых равна
Сумма будет сворачиваться с правого края, как ряд костяшек домино. Закончится это выражением:
Так что
Понятно, что чем больше n, тем меньше S будет отличаться от двух.
Для решения вторым способом опять запишем искомую сумму
А также половину этой суммы:
B вычтем из первого равенства второе:
Все слагаемые, кроме первого, уничтожатся и мы получим:
Значит S=2.
Данный метод используется в общем виде для вывода формулы суммы геометрической прогрессии.
Итак, наш первый результат сегодня:
Рассмотрим теперь сумму
В конечном виде, скажем, до 1997 члена, она появлялась на олимпиадах для 7 или 8 класса.
В решениях предлагалось воспользоваться закономерностью:
И т.д.
Тогда сумма превращается в:
Что даёт нам единицу (Или
Но ключевой вопрос: как додуматься до этой закономерности? Оказывается, если в знаменателе дроби стоит произведение, то она представляется суммой дробей, у которых знаменатели раны множителям, входящим в это произведение.
В данном случае
Найдём эти А и В, сведя сумму обратно к общему знаменателю:
Числители должны быть тождественно равны, поэтому
A+B=0 и A=1.
Значит B=-1. Отсюда и получаем соотношение:
Такой подход применим и когда в знаменателях стоят более сложные произведения.
Итак, мы получили, что
Теперь рассмотрим, что выйдет, если знаменателями дробей будут степени двойки, а числителями – последовательные натуральные числа. (Аналогичная задача поднималась в статье о механическом генераторе случайных чисел.)
Найдём сумму
Это также можно сделать двумя способами. В первом обозначим искомую сумму как S, найдём её половину и вычтем половину из целого:
Значит S=4
Второй способ несколько более длинный, но построен на не менее красивой идее.
Запишем сумму в виде треугольника:
…
Так что искомая сумма равна
Итак, третий результат:
На сегодня достаточно. А через неделю рассмотрим, что будет, если в третьей сумме в числителях будут идти числа Фибоначчи, как Эйлер доказал, что сумма обратных квадратов равна одной шестой квадрата числа пи, и почему гармонической ряд расходится.
