Как находить бесконечные суммы: часть 2

В первой части мы нашли суммы следующих рядов:
сумма ряда
сумма ряда
сумма ряда.

Рассмотрим теперь, что будет, если в третьем ряду числители будут образовывать не арифметическую прогрессию, а последовательность Фибоначчи. Найдём сумму:

сумма ряда.

Опять-таки применим метод деления и найдём, чему равна половина этой суммы:

.

Bычтем из первого равенства второе:





Но ведь справа после первой единицы идёт исходная последовательность, разделённая на 4, поэтому:



Значит, S=4.

Итак,
.

А вот ещё один интересный способ решения таких задач, который был применён Эйлером для нахождения суммы обратных квадратов:

сумма ряда Эйлера.

Сделаем сначала небольшое отступление. Всем известно, что многочлен n-й степени с корнями x1,x2,…xn может быть представлен в виде произведения A(x1-x)(x2-x)…(xn-x). При этом значение многочлена в точке x=0 будет равно Ax1x2…xn. Если мы хотим, чтобы это значение было равно единице, коэффициент A следует взять равным


Тогда данный многочлен может быть записан как:



Возьмём функцию . Хотя её значение в точке x=0 не существует, но в окрестностях её будет стремиться к единице. Кроме того, ось Ox график этой функции будет пересекать в точках . Так что можно представить её следующим бесконечным произведением



Соседние множители можно объединить по формуле разности квадратов:



С другой стороны, поскольку функция синус раскладывается в ряд Маклорена следующим образом:


то


Этот многочлен и получившийся в результате перемножения бесконечного произведения должны быть тождественно равны.

Свободные члены и там, и там равны единице. А при квадрате икса в ряду Маклорена стоит коэффициент , а в ряду, полученном из произведения, при x2 будет стоять сумма .

Значит


Домножив обе части на квадрат пи, получим:


Итак, и эта сумма найдена.

Увидев столько интересных сумм задумываешься: а что получится, если просто складывать дроби


Может, тут тоже сумма будет равна какому-нибудь целому числу или будет выражаться формулой, куда входят пи или е?

Оказывается, нет. Эта сумма будет расти до бесконечности, и сейчас мы докажем это.
Для этого рассмотрим следующие соотношения:

1 = 1






Видите? Сумма 2n слагаемых больше, чем , и следующие 2n слагаемых увеличивают эту сумму ещё на величину, большую, чем . Так что суммируя обратные величины натурального ряда (такой ряд ещё называется гармоническим), можно превысить любое наперёд заданное число. По-другому можно сказать, что это ряд расходится.

На этом свойстве гармонического ряда основано много красивых задач. Но это уже совсем другая история :)