Задача 6. Геометрическое место точек
Дана окружность $\omega$, на котором обозначены точки А, В и С. Пусть BF и CE - высоты треугольника АВС, М - середина стороны АС. Найдите геометрическое место точек пересечения прямых BF и ME для всех возможных положений точки А на окружности $\omega$.
Задача 7. Сумма степеней и возрастание последовательности
Найдите все такое тройки положительных действительных чисел a, b, c, для которых последовательность $u_n=a^n+b^n+c^n, n\geq 1$, возрастает
Задача 8. Функциональное уравнение
Найдите все такие монотонные на отрезке [1;2] функции $f:[0;+\infty)\rightarrow R$, что для произвольных действительных $r\geq 0$ и $\phi \in \left[\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{4}\right]$ выполняется равенство
$f(r\cos\phi)+f(r\sin\phi)=f(r)$
Задача 9. Окружность шести точек
Дан треугольник PQR, вписанная окружность $\omega$, касающаяся сторон QR, RP, PQ в точках А, В, и С соответственно, причём $AB^2+AC^2=2BC^2$.
Докажите, что точка пересечения отрезков PA, QB и RC, центр окружности $\omega$, точка пересечения медиан треугольника АВС, точка А и середины отрезков АС и АВ лежат на одной окружности.
Задача 10. Новый язык дикарей.
Пусть $a_1<a_2<\dots<a_k$ - алфавит племени Мумба, а $b_1<b_2<\dots<b_m$ - алфавит племени Юмба. (Здесь знак < означает порядок букв в алфавите). В этих алфавитах (обозначим их А и В) нет общих букв. Два племени решили объединиться и создать общий язык.
Словом языка племени Мумба-Юмба считается последовательность букв $c_1 c_2 \dots c_n$ где каждая буква $c_i$ принадлежит алфавиту А или алфавиту В и удовлетворяются условия:
1) Если какие-либо две буквы в слове принадлежат одному и тому же алфавиту, то ранее идущая в слове буква не должна идти позже последующей в алфавите
2) Соседние буквы в слове не могут совпадать
3) Буквы, идущие в слове черед одну, не могут совпадать
Какой наибольшей длины могут достигать слова этого языка?
Задача 11. Простые числа и точные квадраты
Найдите все такие простые числа p, для которых $37p^2-47p+4$ является точным квадратом.
Дана окружность $\omega$, на котором обозначены точки А, В и С. Пусть BF и CE - высоты треугольника АВС, М - середина стороны АС. Найдите геометрическое место точек пересечения прямых BF и ME для всех возможных положений точки А на окружности $\omega$.
Задача 7. Сумма степеней и возрастание последовательности
Найдите все такое тройки положительных действительных чисел a, b, c, для которых последовательность $u_n=a^n+b^n+c^n, n\geq 1$, возрастает
Задача 8. Функциональное уравнение
Найдите все такие монотонные на отрезке [1;2] функции $f:[0;+\infty)\rightarrow R$, что для произвольных действительных $r\geq 0$ и $\phi \in \left[\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{4}\right]$ выполняется равенство
$f(r\cos\phi)+f(r\sin\phi)=f(r)$
Задача 9. Окружность шести точек
Дан треугольник PQR, вписанная окружность $\omega$, касающаяся сторон QR, RP, PQ в точках А, В, и С соответственно, причём $AB^2+AC^2=2BC^2$.
Докажите, что точка пересечения отрезков PA, QB и RC, центр окружности $\omega$, точка пересечения медиан треугольника АВС, точка А и середины отрезков АС и АВ лежат на одной окружности.
Задача 10. Новый язык дикарей.
Пусть $a_1<a_2<\dots<a_k$ - алфавит племени Мумба, а $b_1<b_2<\dots<b_m$ - алфавит племени Юмба. (Здесь знак < означает порядок букв в алфавите). В этих алфавитах (обозначим их А и В) нет общих букв. Два племени решили объединиться и создать общий язык.
Словом языка племени Мумба-Юмба считается последовательность букв $c_1 c_2 \dots c_n$ где каждая буква $c_i$ принадлежит алфавиту А или алфавиту В и удовлетворяются условия:
1) Если какие-либо две буквы в слове принадлежат одному и тому же алфавиту, то ранее идущая в слове буква не должна идти позже последующей в алфавите
2) Соседние буквы в слове не могут совпадать
3) Буквы, идущие в слове черед одну, не могут совпадать
Какой наибольшей длины могут достигать слова этого языка?
Задача 11. Простые числа и точные квадраты
Найдите все такие простые числа p, для которых $37p^2-47p+4$ является точным квадратом.
Комментариев нет :
Отправить комментарий