Здесь мы систематизируем формулы площади треугольника, грамотно применяя которые вы сможете решить любую задачу 8 класса по геометрии, а то и олимпиадную геометрическую задачу в 8, 9 или 10 классе.
1. Формула площади треугольника по основанию и высоте
Если в треугольнике известны основание a и проведённая к нему высота ha, то площадь его будет равна полупроизведению основания на высоту.$S=\frac{1}{2}a h_a$
2. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
Если в треугольнике известны две стороны a и b и угол между ними $\alpha$, то его площадь равна полупроизведению сторон на синус угла между ними.$S=\frac{1}{2}ab\sin\alpha$
3. Формула площади треугольника по трём сторонам (формула Герона)
Если в треугольнике известны три стороны, a, b, c то для определения площади у него нужно найти полупериметр $p=\frac{a+b+c}{2}$ и вычислить площадь по формуле Герона:$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
Иногда формулу Герона ещё записывают так:
$S=\frac{1}{4}\sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a))$
Кстати, сущесвтует и формула Герона для четырёхугольника.
4. Формула площади прямоугольного треугольника по двум катетам
Если треугольник прямоугольный и в нём известны два катета, a и b, то площадь треугольника вычисляется как полупроизведение катетов.$S=\frac{1}{2}ab$
5. Формула площади прямоугольного треугольника по одному катету и прилежащему углу
Если треугольник прямоугольный и в нём известен катет a и прилежащий угол $\beta$, то площадь треугольника вычисляется как полупроизведение квадрата этого катета на тангенс прилежащего угла.$S=\frac{1}{2}a^2 tg \beta$
Если же известен противолежащий угол, то площадь треугольника можно вычислить как полупроизведение квадрата этого катета на котангенс противолежащего угла.
$S=\frac{1}{2}a^2 ctg \alpha$
6. Формула площади равностороннего треугольника по его стороне
Если дан равносторонний треугольник со стороной a, то площадь его равна квадрату сторону, умноженному на корень из трёх и раделённому на 4.$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
7. Формула площади треугольника по сторонам и радиусу описанной окружности
Если дополнительно к сторонам a, b, c треугольника известен и его радиус описанной окружности R, то площадь можно найти без формулы Герона, просто разделив произведение сторон на четыре радиуса описанной окружности.$S=\frac{abc}{4R}$
8. Формула площади треугольника по сторонам и радиусу вписанной окружности
Если у треугольника известны все стороны и ещё радиус вписанной окружности, то снова формула Герона будет не нужна. Площадь будет равна полупоризведению радиуса списанной окружности на пеример (ну или полупериметра на радиус описанной окружности).$S=\frac{(a+b+c)r}{2}=pr$
9. Формула площади треугольника по стороне и прилежащим к ней углам
Бывает, что в треугольнике известна только одна строна a, зато два прилежащих к ней угла: $\beta$ и $\gamma$. В этом случае площадь находится как половина квадрата стороны на произведение синусов прилежащих углов, делённое на синус суммы этих углов.$S=\frac{1}{2}a^2\frac{\sin\beta\sin\gamma}{\sin(\beta+\gamma)}$
10. Формула площади равнобедренного треугольника
Если в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны по a, а основание равно b, то его площадь можно вычислить по следующей формуле:$S=\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}$
11. Формула площади треугольника, который задан координатами своих вершин на плоскости
Если треугольник задан на плоскости координатами своих вершин: $(x_0; y_0)$, $(x_1; y_1)$, $(x_2; y_2)$, то его площадь можно вычислить как определитель матрицы:$S=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_0&y_0&1\\x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\end{vmatrix}$
При этом если точки взяты по часовой стрелке, результат будет положительным, а если против часовой - отрицательным.
12. Формула площади треугольника, стороны которого заданы векторами
Если две стороны треугольника заданы векторами с общим началом и координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, то его площадь можно вычислить по формуле:$\frac{1}{2}|x_1 y_2 - x_2 y_1|$
13. Формула площади треугольника по трём медианам
Если у треугольника известны все медианы $m_a$, $m_b$, $m_c$, то его площадь можно найти по формуле, аналогичной формуле Герона:$S = \frac{4}{3} \sqrt{\sigma (\sigma - m_a)(\sigma - m_b)(\sigma - m_c)}$,
где $\sigma$ - полусумма медиан.
14. Формула площади треугольника по трём высотам
Если у треугольника известны все высоты $h_a$, $h_b$, $h_c$, то можно сначала найти величину $H = \frac{\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}}{2}$ (она в полтора раза больше среднего гармонического высот), а затем найти площадь по формуле:$S=\frac{1}{4 \sqrt{H(H-h_a^{-1})(H-h_b^{-1})(H-h_c^{-1})}}$
15. Формула площади треугольника по радиусу описанной окружности и всем углам
Если у треугольника известны все углы $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и радуис описанной окружности R, то площадь треугольника можно найти как одну восьмую произведения квадрата радиуса вписанной окружности на произведение синусов углов.$S = \frac{1}{8}R^{2} \sin \alpha \sin \beta\sin \gamma$
16. Формула площади треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге
Если треугольник нарисован на клетчатой бумаге и все его вершины находятся в углах сетки, то площадь его можно вычисляить по формуле Пика:S = В+Г/2-1,
где В - количество узлов сетки, находящихся внутри треугольника,
Г - количество узлов сетки, находящихся на границе треугольника.
Комментариев нет :
Отправить комментарий