Условие
Найти сумму всех целых корней неравенства
$\frac{3}{х-2}+ \frac{4}{х}\geq 1$
Решение
Начинаем решение с ОДЗ - области допустимых значений. При каких значениях х выражение не будет иметь смысла? Так как в выражении есть дроби, то знаменатели не должны быть нулями.
Поэтому:
$x\neq 2$
$x\neq 0$
ОДЗ: $x\in (-\infty;0)\cup(0;2)\cup(2;\infty)$
Теперь переносим всё в левую часть и приводим к общему знаменателю:
$\frac{3}{х-2}+ \frac{4}{х}- 1 \geq 0$
$\frac{3x+4(x-2)-x(x-2)}{x(х-2)}\geq 0$
$\frac{3x+4x-8-x^2+2x}{x(х-2)}\geq 0$
$\frac{-x^2+9x-8}{x(х-2)}\geq 0$
Можно обе части неравенства умножить на -1 и поменять знак неравенства на противоположный.
$\frac{x^2-9x+8}{x(х-2)}\leq 0$
Теперь нужно числитель разложить на множители. По теореме Виета, т.к. произведение корней равно 8, а сумма равна 9, то корни квадратного трёхчлена в числителе равны 1 и 8. Значит, дробь будет выглядеть так:
$\frac{x-1)(x-8)}{x(х-2)}\leq 0$
Отмечаем все корни (и числителя, и знаменателя) на числовой оси. Т.к. неравенство нестрогое, то корни числителя закрашиваем (а корни знаменателя выкалываются всегда).
Теперь берём какую-нибудь точку не из отмеченных, например, х = 9. Если х=9 подставить в неравенство, получим знак + у левой части. Т.к. все корни числителя и знаменателя - первой кратности, то можно автоматически строить "змейку":
Получается: $x\in(0;1]\cup(2;8]$
Сумма целых решений составит:
1+3+4+5+6+7+8 = 34
Ответ:
34
Комментариев нет :
Отправить комментарий