Решения задач пробного ЗНО 2014 по математике

Вчера прошло пробное ЗНО по математике. Как правило, задачи пробного ЗНО позволяют хорошо спрогнозировать, что ждёт выпускников на "настоящем" ЗНО, которое состоится 12 июня 2014 года.

У вас есть ещё 2,5 месяца на подготовку, и чтобы провести их с пользой, разберите решения и ответы вчерашнего ЗНО.

Давайте начнём с конца, с самых сложных и интересных задач.

Задача 34. Тригонометрия, функции, задачи с параметром
Найдите наименьшее значение параметра а, при котором уравнение
$2^{\sin^2\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)}=\frac{4}{(x-a)^2-6(x-a)+13}$
имеет положительный корень.

Решение
На первый взгляд кажется непонятным, как и подступиться к этой задаче. Здесь и показатель степени, и тригонометрия, и дробь, и квадратный трёхчлен. В школе методы решения этого винегрета вряд ли проходили.

Однако, если присмотреться, оказывается, что здесь можно применить метод решения, использующий оценку величины левой и правой части. Этот метод применялся и в задачах прошлых лет, например, в ЗНО 2010 или в ЗНО 2013.

Рассмотрим левую часть.
$2^{\sin^2\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)}$
Т.к. синус может принимать значения только в промежутке от -1 до 1, то квадрат синуса может быть только в промежутке от 0 до 1.
$\sin^2\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)\in [0;1]$

А двойка, возведённая в какую-либо степень от нуля до единицы примет значения от $2^0=1$ до $2^1=2$
$2^{\sin^2\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)}\in [1;2]$

Теперь рассмотрим правую часть.
$\frac{4}{(x-a)^2-6(x-a)+13}$
Знаменатель правой части -квадратный трёхчлен относительно x-a.
Дискриминант его отрицателен:
D =  36 - 4 x 13 = -16

Т.к. коэффициент при $(x-a)^2$ равен единице, то этот трёхчлен принимает только положительные значения. Минимума трёхчлен достигает, когда (x-a) окажется равным $\frac{-b}{2a}=\frac{6}{2}=3$

Само минимальное значение равно:
$3^2-6\cdot 3+13=9-18+13=4$

Итак, мы установили, что
$(x-a)^2-6(x-a)+13\in [4;\infty)$

Поскольку этот трёхчлен в знаменателе, то наименьшая величина трёхчлена будет соответствовать наибольшей величине дроби.
$\frac{4}{(x-a)^2-6(x-a)+13}\in(0;\frac{4}{4}]$
$\frac{4}{(x-a)^2-6(x-a)+13}\in(0;1]$

Итак, вот, что получается. Левая часть может принимать значения от 1 до 2, а правая - от 0 до 1. Равенство может быть только тогда, когда и левая, и правая части равны единице. В итоге одно уравнение у нас разбивается на два:

$2^{\sin^2\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)}=1$
$\frac{4}{(x-a)^2-6(x-a)+13}=1$

Из первого:
$2^{\sin^2\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)}=2^0$
$\sin^2\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)=0$
$\sin\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)=0$
$2\pi x+\frac{5\pi}{4}=\pi n, n\in Z$
$2x+\frac{5}{4}=n, n\in Z$
$x = \frac{n}{2}-\frac{5}{8}, n\in Z$

Из второго:
$\frac{4}{(x-a)^2-6(x-a)+13}=\frac{4}{4}$
$(x-a)^2-6(x-a)+13=4$
А мы уже установили, что значение 4 достигается квадратным трёхчленом при
x - a = 3
x = a + 3

Итак, получаем, что с одной стороны, $x = \frac{n}{2}-\frac{5}{8}, n\in Z$, а с другой х = а + 3
Вспомним вопрос задачи:
Найдите наименьшее значение параметра а, при котором уравнение имеет положительный корень


Поскольку х = а + 3, то наименьшее значение а будет соответствовать наименьшему положительному корню х. А собственно положительный корень х найдём из
$x = \frac{n}{2}-\frac{5}{8}, n\in Z$
Чтобы х было положительным, n должно быть больше или равным 2. Таким образом,
$x = \frac{2}{2}-\frac{5}{8} = \frac{3}{8}$
$a = x-3 = \frac{3}{8}-3 = -2\frac{5}{8}=-2,625$

Ответ: -2,625

Завтра разберём решения других задач.