Интересный способ решать кубическое уравнение

Иногда попадаются кубические уравнения типа такого
$x^3-(\sqrt{2}+1) x^2+2=0$

Мало того, что оно кубическое, неприведённое, так в нём ещё иррациональные коэффициенты. Прямо руки опускаются, если не знать одной хитрости.

Обратим внимание, что среди коэффициентов уравнения имеются двойка и корень из двух. Сделаем замену $y = \sqrt{2}$

Уравнение примет вид:

$x^3-y\cdot x^2 -x^2+y^2=0$

Относительно икса оно кубическое, а относительно игрека - квадратное. Вот и решим его относительно игрека:

$y^2 -x^2 \cdot y +x^3 -x^2=0$

$D = x^4-4x^3+4x^2 = x^2(x^2-4x+4) = (x(x-2))^2$ - очень хорошо, дискриминант является полным квадратом! Наверняка составители уравнения хотели, чтобы мы пошли по этому пути :) .

$y_1=\frac{x^2+|x(x-2)|}{2}$

$y_2=\frac{x^2-|x(x-2)|}{2}$

Здесь знак модуля можно опустить, ведь при отрицательном значении выражения x(x-2) корни попросту поменяются местами.

Итак:

$y_1=\frac{x^2+x(x-2)}{2}=\frac{2x^2-2x}{2}=x^2-x$

$y_2=\frac{x^2-x(x-2)}{2}=\frac{2x}{2}=x$

Поскольку корень из двух может быть как первым, так и вторым корнем нашего квадратного уравнения, то первое уравнение даст нам:

$x^2-x=\sqrt{2}$

$x^2-x-\sqrt{2}=0$

$D=1+4\sqrt{2}$

$x_1=\frac{1+\sqrt{1+4\sqrt{2}}}{2}$

$x_2=\frac{1-\sqrt{1+4\sqrt{2}}}{2}$

А второй корень квадратного уравнения относительно у даст нам третий корень уравнения кубического относительно х:

$x_3 = \sqrt{2}$

Понятно, что такой способ не универсален, но указанием на возможность его применения обычно является квадратичное соотношения между коэффициентами кубического уравнения.