Справочник формул: как преобразовать сумму тригонометрический функций в произведение и наоборот

Этим постом мы открываем новую рубрику: Справочник. Здесь будут собраны формулы, готовые к употреблению. Параллельно для лучшего понимания эти статьи будут снабжаться ссылками на матераиалы, объясняющими, почему формулы именно такие, а не иные.

Начнём с тригонометрии.

Как преобразовать сумму или разность тригонометрических функций в произведение.

1. Сумма синусов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на косинус полуразности.
$\sin a+\sin a = 2 \sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$
2. Разность синусов равна удвоенному произведению синуса полуразности на косинус полусуммы.
$\sin a-\sin b = 2 \sin \frac{a-b}{2}\cos \frac{a+b}{2}$
3. Сумма косинусов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы на косинус полуразности.
$\cos a+\cos b = 2 \cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$

4. Разность косинусов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на синус полуразности, взятую с обратным знаком.
$\cos a-\cos b = -2 \sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}$
5. Сумма тангенсов равна синусу суммы, делённому на произведение косинусов.
$tg a+tg b = \frac{\sin(a+b)}{\cos a \cos b}$
6. Разность тангенсов равна синусу разности, делённому на произведение косинусов.
$tg a-tg b = \frac{\sin(a-b)}{\cos a \cos b}$
7. Сумма котангенсов равна синусу суммы, делённому на произведение синусов.
$ctg a+ctg b = \frac{\sin(a+b)}{\sin a \sin b}$
8. Разность котангенсов равна отношению синуса разности к произведению синусов, взятому с обратным знаком.
$ctg a- ctg b = -\frac{\sin(a-b)}{\sin a \sin b}$
9. Если же нужно преобразовать в произведение сумму или разность разных тригонометрических функций, для начала их надо сделать одинаковыми, воспользовавших формулами приведения.

Как преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму.

10. Прозведение синусов равно полуразности косинуса разности и косинуса суммы.
sin a sin b = 0,5(cos(a-b) - cos(a+b))
11. Прозведение косинусов равно полусумме косинуса разности и косинуса суммы.
cos a cos b = 0,5(cos(a-b) + cos(a+b))
12. Прозведение синуса на косинус равно полусумме синуса разности и синуса суммы.
sin a cos b = 0,5(sin(a-b) + sin(a+b))

А вот как выводятся эти и другие тригонометрические формулы.