Поиграем с цифрами числа пи

Как стоит отмечать день числа пи? Придумать какое-то математическое развлечение, в котором бы фигурировало это число!

Давайте попробуем получить число, наиболее близкое к пи, составив арифметическое выражение из нескольких начальных цифр его десятичной записи.

При этом будем следовать правилам:

• Цифры в выражении должны идти в том же порядке, в каком они идут в записи числа пи
• Допускается использовать только сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень.

Вот несколько первых результатов:
3 (погрешность 0,14159...)
3х1 (погрешность 0,14159...)
3+1/4 (погрешность 0,10840...)
3+1/4х1 (погрешность 0,10840...)
3+1/4-1/5 (погрешность 0,09159...)
Сможете продолжить? Вот вам побольше цифр, берите из них первые 6, 7, 8 и т.д. и получайте свои формулы!
п = 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286...



Порядок выполнения действий

1. Возведение в степень. При наличии нескольких возведений в степень, они выполняются справа налево.
2. Умножение и деление. При наличии нескольких таких дейстий, они выполняются слева направо.
3. Сложение и вычитание. При наличии нескольких таких дейстий, они выполняются слева направо.

Скобки запрещены, иначе, скорее всего, большинство формул будут иметь однообразный вид 3+1/(выражение, приближённо равное:
$\frac{1}{\pi-3}$)

Для повышения разнообразия формул запрещено и "склеивание" нескольких цифр в одно число. Ведь с помощью этого приёма можно было бы легко строить выражения вида:
3+(число, составленное из n первых цифр мантиссы числа пи)/(выражение, как можно более близкое к 10ⁿ)

Впрочем, потом можно будет проверить мою правоту, сравнив выражения, построенные с этими органичениями, с теми, которые можно получить без них.

Насчёт унарного вычитания не уверен. В сочетании с возведением в степень это слишком простой способ получать небольшие величины. Однако, пусть пока будет. Разрешим и унарное вычитание для начальной тройки. А в остальных местах унарное вычитание и не нужно.

Интересно также отследить, для каких количеств взятых цифр погрешность наилучшей формулы будет увеличиваться.

Если надоест работать с числом пи, можно провернуть аналогичный трюк с числами:

е = 2,718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353...

ф = 1,618033988749894848204586834365638117720309179805762862135448622705260462818...

$\sqrt{2}$=1,414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462...

В этот пост я пригласил своих друзей с математических форумов, на которых я давно бываю: DxDy, E-Science, Назва, Смекалка и Эрудит. В комментариях работает математический TeX-код. Достаточно обрамить набираемую формулу знаками доллара.

Промежуточные результаты:

• Без использования степеней
• С использованием степеней
• Со скобками (и сводная таблица)