Формулы приближения числа пи из собственных цифр (без использования степеней)

Идея игры с цифрами числа пи многим посетителям математических сообществ пришлась по вкусу.

Сразу fiviol на dxdy улучшил результат с пятью цифрами.
$3\cdot 1^4+1/5 = \pi+0.0584\dots$

Как указал Антон в комментарии к этому блогу, такой результат можно получить даже не прибегая к степени:
3+1-4*1/5 = 3.2

Вообще, среди результатов можно выделить три направления:

• Решения с дополнительным ограничением даже на использование степеней, выражающие число пи только четырьмя арифметическими действиями;
• Решения в базовом наборе правил;
• Решения в расширенном наборе правил, со сцеплением цифр и скобками.

Варианты выражения числа пи без степеней можно полностью исследовать до большего количества цифр, чем остальные. Вот какие на данный момент получаются наилучшие приближения. Часть их была получена в сообществе "Типичный математик", часть - на dxdy и часть - мною.

3 = 3
3*1 = 3
3+1/4 = 3.25
3+1/4*1 = 3.25
3+1-4*1/5 = 3.2
3+1/4*1*5/9 = 3.13(8)
3+1/4+1-5/9*2 = 3.13(8)
-3+1/4+1-5/9*2+6 = 3.13(8)
3+1/4-1*5/9*2+6-5=3.13(8)
3+1/4+1-5/9-2/6*5/3 = 3.13(8)
3-1/4+1*5/9*2-6/5*3/5 = 3.14(1)
3+1+4+1/5/9/2*6-5+3/5/8 = 3.141(6)
3+1+4-1*5+9+2/6/5+3/5/8-9 = 3.141(6)
3+1-4+1*5/9/2/6+5-3*5*8/9/7 = 3.14(153439)
3+1/4+1/5/9*2-6/5/3/5/8-9/7/9=3.14(158730)

Любопытно, что пока что при добавлении новой цифры результат не ухудшался. Продолжится ли это и далее - пока неизвестно.

Для 16 цифр результат как минимум не ухудшится, поскольку
3+1+4-1*5/9-2*6/5/3/5-8+9/7*9/3 = 3.14(158730)

А grizzly с dxdy привёл доказательство того, что используя четыре действия и не будучи ограниченным в цифрах можно получить как угодно хорошее приближение числа пи. Оно основывается на гипотезе о нормальности числа пи.

Допустим, у нас есть некоторое приближение (с избытком или недостатком). Отнимем или прибавим к нему следующую группу цифр, объединённых знаками деления деления и умножения так, чтобы отклонение нового выражения от пи не увеличилось. Если все цифры встречаются в записи числа пи равномерно, то удастся это отклонение уменьшать и мы будем получать всё лучшие приближения.

Ну а наша задача - получив некоторую точность, уменьшить количество цифр, необходимых для её достижения.

Кстати, grizzly с dxdy нашёл несколько интересных формул, дающих ровно 3,14:
3,14 = 3+1/4+1-5/9х2+6/5/3/5/8/9
и одиннадцатью цифрами:
3,14 = 3+1/4/1/5+9/2/6/5х3/5

В следующем посте проанализируем результаты со степенями и скобками.