Приближения числа пи из его цифр: промежуточные результаты с использованием степеней

При решении задачи выражения числа пи его цифрами, многие результаты, полученные с помощью только четырёх арифметических действий, удалось улучшить, использовав возведение в степень.

Для восьми цифр результат Наталии Макаровой:
3+1/4x1-5/9² = 3,13(8)
даёт такую же точность, как и формула без степеней. А для 9, 12, 14 и 19 цифр hippie на dxdy нашёл такие результаты:
3+1/4-1⁵/9+2^-6 /5=3,142013(8)
3+1/4-1⁵/9+2^-6/5-3^-5/8 = 3,1414994...
3+1/4-1⁵/9+2^-6/5-3^-5/8/9x7 = 3,14163797...
3+1/4-1⁵/9+2^-6/5-3^-5/8/9x7-9^-3/2³/8 = 3,141592363...

Они все являются десятичными периодическими дробями, просто периоды большинства будут достаточно длинными.

Если использовать только положительные показатели степени, то для 9-11 цифр не удаётся получить точности лучшей, чем вообще без них. И только для 12-циферного вместо:
3+1+4+1/5/9/2*6-5+3/5/8 = 3.141(6)
получаем:
3*1⁴+1/5/9+2*6⁵*3/5⁸ = 3.14166158(2),
что, кстати, выигрывает у выражения с отрицательными показателями.

Использование вложенных степеней и унитарного отрицания потребовало уточнения правил. То, что степени вычисляются справа налево, было уже описано в правилах. Однако, как лучше для сохранения духа и интересности игры вычислять выражение типа $3^{{-2}^4}$?

Есть два варианта:

• $3^{-\left(2^4\right)}=3^{-16}$
• $3^{\left(-2\right)^4}=3^{16}$

В пользу первого варианта говорят два соображения:

1. Хотя унарное вычитание выполняется до других действий, всё же чаще в математике запись $-2^4$ говорит о том, что двойку возвели в четвёртую степень, а затем сменили знак. Когда хотят показать, что 4ю степень возводят минус двойку, основание степени берут в скобки: $-2^4 = -16$, $(-2)^4 = 16$
2. И второе - для получения точного приближения отрицательные степени полезнее :)

Сложения и умножения в показателе степени следует всё-таки трактовать как использование скобок. В прочем, и формулы такого плана оказались очень красивыми и среди них тоже выделяются замечательные образцы. Подробнее о них - в следующем посте.