Поиграем с цифрами числа пи

Как стоит отмечать день числа пи? Придумать какое-то математическое развлечение, в котором бы фигурировало это число!

Давайте попробуем получить число, наиболее близкое к пи, составив арифметическое выражение из нескольких начальных цифр его десятичной записи.

При этом будем следовать правилам:
  • Цифры в выражении должны идти в том же порядке, в каком они идут в записи числа пи
  • Допускается использовать только сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень.
Вот несколько первых результатов:
3 (погрешность 0,14159...)
3х1 (погрешность 0,14159...)
3+1/4 (погрешность 0,10840...)
3+1/4х1 (погрешность 0,10840...)
3+1/4-1/5 (погрешность 0,09159...)
Сможете продолжить? Вот вам побольше цифр, берите из них первые 6, 7, 8 и т.д. и получайте свои формулы!
п = 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286...



Порядок выполнения действий

  1. Возведение в степень. При наличии нескольких возведений в степень, они выполняются справа налево.
  2. Умножение и деление. При наличии нескольких таких дейстий, они выполняются слева направо.
  3. Сложение и вычитание. При наличии нескольких таких дейстий, они выполняются слева направо.
Скобки запрещены, иначе, скорее всего, большинство формул будут иметь однообразный вид 3+1/(выражение, приближённо равное:
$\frac{1}{\pi-3}$)

Для повышения разнообразия формул запрещено и "склеивание" нескольких цифр в одно число. Ведь с помощью этого приёма можно было бы легко строить выражения вида:
3+(число, составленное из n первых цифр мантиссы числа пи)/(выражение, как можно более близкое к 10n)

Впрочем, потом можно будет проверить мою правоту, сравнив выражения, построенные с этими органичениями, с теми, которые можно получить без них.

Насчёт унарного вычитания не уверен. В сочетании с возведением в степень это слишком простой способ получать небольшие величины. Однако, пусть пока будет. Разрешим и унарное вычитание для начальной тройки. А в остальных местах унарное вычитание и не нужно.

Интересно также отследить, для каких количеств взятых цифр погрешность наилучшей формулы будет увеличиваться.

Если надоест работать с числом пи, можно провернуть аналогичный трюк с числами:

е = 2,718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353...

ф = 1,618033988749894848204586834365638117720309179805762862135448622705260462818...

$\sqrt{2}$=1,414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462...

В этот пост я пригласил своих друзей с математических форумов, на которых я давно бываю: DxDy, E-Science, Назва, Смекалка и Эрудит. В комментариях работает математический TeX-код. Достаточно обрамить набираемую формулу знаками доллара.

Промежуточные результаты:

13 комментариев :

  1. Анонимный22 июля 2015 г., 14:06

    3+1/4+1/5/9*2*6+5+3+5/8-9=3.141(6)

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Хороший результат! Без возведения в степень его не улучшить.

      Удалить
    2. Можно сэкономить одну цифру:
      -3-1/4*1/5*9*2+6+5/3-5/8.

      Удалить
    3. Класс! Я с -3 начинал строить, да отвлёкся

      Удалить
    4. Еще один способ получить то же самое 12-ю цифрами, но без унарного минуса:
      $3/1/4/1/5/9+2/6*5*3*5/8$

      Удалить
    5. Этот комментарий был удален автором.

      Удалить
  2. 3+1/4-1/5 не самое оптимальное среди 5-циферных без степени.
    3+1-4/1/5=3.2 (погрешность 0,05840...)

    ОтветитьУдалить
  3. 14 цифр:
    3/1-4+1+5/9/2/6+5-3*5*8/9/7=3.14(153439)
    Погрешность 0.000058262...

    Если не гнаться за оптимальностью по числу цифр, то любую точность можно получить, придумав формулу приближения (не заботясь о соответствии порядка цифр), найдя нужные подпоследовательности чисел в числе пи (учитывая коммутативность некоторых операций) и собрав из оставшихся неиспользованными чисел формулу, дающую ноль, что не сложно.

    ОтветитьУдалить
  4. Свёл результаты разных приближений в одну таблицу

    ОтветитьУдалить
  5. 3+1+4/1-5+9/2/6/5-3/5/8/9-7/9/3/2/3/8/4/6/2/6*4 = 3,1415916…
    Погрешность: - 0,0000010...

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. О, рад приветствовать нового участника конкурса! Удастся ли уменьшить количество цифр, сохраняя точность?

      Удалить
  6. Если не ограничиваться количеством цифр, можно улучшить решение задачи, например, продленим предроженного мною ряда.
    3+1+4/1-5+9/2/6/5-3/5/8/9-7/9/3/2/3/8/4/6/2/6*4-3/3/8/3/2/7/9/5+0+2*8/8*4*1/9/7/1/6/9/3*9/9*3/7/5 = 3,14159269…
    Погрешность: + 0,000000045
    Согласен, перспективное направление за сокращением ряда.

    ОтветитьУдалить
  7. Формула со скобками и использованием 25 цифр:
    3-1*4*(1-5)/((9+2)*(6+5)-3-5+8/9/7/9/3/2/(3+8+4/6/2/(6+4/3))) = 3,14159265358 56…
    Погрешность: -4,193909Е-12

    ОтветитьУдалить