Уравнение с параметром, корнем и модулями.

На мейловских "Ответах" попалось интересное задание.

Условие
Найдите все параметры а, при которых уравнение
$\sqrt{x^4+(a-5)^4}=|x+a-5|+|x-a+5|$
имеет единственный корень.

Решать его будем так. Во-первых введём новый параметр b=a-5 для упрощения. Уравнение примет вид:
$\sqrt{x^4+b^4}=|x+b|+|x-b|$

Теперь обратим внимание на то, что в условии говорится о количестве решений уравнения. Чтобы узнать количество решений уравнения его часто не нужно решать, достаточно прикинуть, как буду выглядеть графики обеих его частей.

Рассмотрим функцию y = |x+b|+|x-b|
В зависимости от положения х относительно b и -b частями её графика будут y=2x, y=-2x и y=2|b|. В целом же он будет выглядеть как показано на рисунке (синим цветом).

Теперь о функции
$y=\sqrt{x^4+b^4}$

Нужно заметить, что $\sqrt{x^4+b^4}>\sqrt{x^4}=x^2$ и в пределе, при стремлении х к бесконечности, график этой функции будет стремиться к параболе $y=x^2$, приближаясь к ней сверху.

При этом $y(0)=b^2$
Эскиз этого графика приведён на схеме красной линией, а вспомогательная парабола - красным пунктиром.

Теперь видим, что при изменении b красный график может двигаться вверх и вниз, так же может двигаться и горизонтальный участок синего графика. В силу симметрии, если между ними будет точка пересечения правее оси оУ, то будет и вторая точка пересечения левее её. Единственныё корень (и единственная точка пересечения) будет только в случае касания. Это возможно при соблюдении равенства |2b|=b²

Отсюда b=2 или b=-2.

Возвращаясь к подстановке, получаем: a=7 или a=3.

Ответ: a=7 или a=3.