Задача 33. Стереометрия, пирамида, объём
Основанием пирамиды SABCD является трапеция ABCD (BC || AD). Боковая грань SBC, площадь которой составляет 24,4 см$^2$, перпендикулярна плоскости основания. Точка М - середина ребра SB. Плоскость (MAD) пересекает ребро SC в точке N. Найдите длину отрезка MN (в см), если объём пирамиды равен 152 см$^3$, а площадь её основания - 57 см$^2$.
Решение
Изобразим эту пирамиду.
Т.к. в основании трапеция, то и изображается она трапецией (при параллельном проектировании параллельность сторон сохранятся). SH - высота пирамиды, она совпадает с высотой боковой грани SBC.
Почему сечение пирамиды плоскостью (MAD) будет выглядеть именно так? Дело в том, что т.к. BC || AD и BC принадлежит плоскости (SBC), то прямая AD параллельна плоскости (SBC). Раз плоскость (MAD) содержит в себе прямую (AD) и имеет с плоскостью (SBC) общую точку М, то линия пересечения плоскостей (MAD) и (SBC) будет параллельна AD и проходить через точку M. Получаем три параллельные прямые: AD || MN || BC.
Раз MN || BC и М - середина SB, то MN - средняя линия треугольника SBC. $MN=\frac{BC}{2}$.
Для удобства дальнейших вычислений обозначим высоту пирамиды SH = H, высоту основания HK = h, основания трапеции: BC = a, AD = b.
Тогда:
Площадь боковой грани
$S_{SBC}=\frac{1}{2}aH=24,4$
Площадь основания:
$S_{ABCD}=\frac{a+b}{2}h=57$
Объём пирамиды:
$V=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot H=152$
Из второго и третьего уравнений найдём высоту пирамиды:
$\frac{1}{3}\cdot57\cdot H=152$
19H = 152
H = 8
Подставим теперь это в первое уравнение:
$\frac{1}{2}a\cdot 8=24,4$
4a = 24,4
a = 6,1
Получается, MN, как средняя линия треугольника SBC, равна 3,05 см
Ответ: 3,05
Комментариев нет :
Отправить комментарий