Пакет задач олимпиады Кенгуру №2: комбинаторика, логика, цифры

Условия задач

Задача 6. Студент (11 класс), 3й уровень, 2004 год
На гранях куба написаны некоторые натуральные числа, и у каждой вершины написано число, равное произведению чисел на гранях, прилежащих к этой вершине. Сумма чисел на вершинах равна 100. Тогда наибольшая возможная сумма чисел на гранях равна:
А:14; Б:17; В:25; Г:29; Д:100;

Задача 7. Юниор (9-10 классы), 3й уровень, 2002 год
Рассмотрим множество всех чисел, которые состоят из цифр 1, 2, 3, 4 без повторов. Чему равна сумма всех этих чисел?
А:5550; Б:99990; В:66660; Г:100000; Д:98760;

Задача 8. Кадет (7-8 классы), 3й уровень, 2001 год
Чему равняется первая цифра наименьшего натурального числа, сумма цифр которого равна 2001?
А:1; Б: 2; В: 3; Г: 4; Д: 5;

Задача 9. Школьник (5-6 классы), 3й уровень, 2005 год
M, D, S, E, K сидят на скамейке в парке. М не сидит справа на краю, а D не сидит слева на краю. S не сидит на краю. K не сидит рядом с S, а S не сидит рядом с D. E сидит справа от D, но не обязательно рядом. Кто сидит крайним справа?
А:Невозможно определить; Б: D; В: S; Г: E; Д: K;

Задача 10. Малыш (3-4 классы), 3й уровень, 2006 год
Ира, Аня, Катя, Оля и Эля живут в одном доме: две девочки на первом этаже и три на втором.. Оля живёт не на том этаже, где Катя и Эля. Аня - не на том этаже, где Ира и Катя. Кто живёт на первом этаже?
А:Катя и Эля; Б:Ира и Эля; В:Ира и Оля; Г:Ира и Катя; Д:Аня и Оля;

Решения

Задача 6.
Пусть числа на верхней и нижней гранях куба равны a и b, а на его боковых гранях: c, d, e и f. Тогда сумма чисел у вершин куба будет равна:
acd+ade+aef+acf+bcd+bde+bef+bcf=
=a(cd+de+ef+cf)+b(cd+de+ef+cf)=
=(a+b)(cd+de+ef+cf)=(a+b)(c(d+f)+e(d+f))=(a+b)(c+e)(d+f)=100.
Получаем произведение трёх натуральных чисел, каждое из которых не менее двух, равно 100.

Число 100 в виде такого произведения можно представить тремя способами. 100=2*2*25=2*5*10=4*5*5. Из них сумма множителей, а, соответственно, и сумма a+b+с+d+e+f наибольшее значение принимает в первом случае.
Ответ Г:29

Задача 7.
Всего таких чисел будет 4!=24. При этом в любом из четырёх разрядов ровно у шести из них будет стоять 1, у шести - 2, у шести - 3 и у шести чисел - 4.

Искомую сумму можно представить как: 6(1000*(1+2+3+4)+100*(1+2+3+4)+10*(1+2+3+4)+(1+2+3+4))=66660.
Ответ В:66660

Задача 8.
Из всех числе с такой суммой цифр наименьшим будет во-первых число, состоящее из наименьшего количества цифр, а во-вторых, с наименьшей возможной первой цифрой.

Сколько знаков должно быть у числа, чтобы сумма его цифр могла составлять 2001? 2001/9=222 (остаток 3). Значит наименьшим числом с суммой цифр 2001 будет число 399...9, где за тройкой идёт 222 девятки.
Ответ В:3

Задача 9.
Для удобства занумеруем места слева направо: 1, 2, 3, 4, 5 и занумеруем утверждения задачи: М не сидит справа на краю(I), а D не сидит слева на краю(II). S не сидит на краю(III). K не сидит рядом с S(IV), а S не сидит рядом с D(V). E сидит справа от D, но не обязательно рядом(VI).

Теперь из I, III VI определяем, что на 5 месте не могут сидеть M, S или D. Из II, III, VI определяем, что на 1м месте не могут сидеть D, S или E. Таким образом, из V, для расположения S и D есть только два варианта: S2, D4 или D2, S4. Но в первом случае 5е место должно быть занято Е, и тогда К не удаётся усадить не рядом с S, согласно IV. Для второго варианта однозначно K1, M3, E5. Итак, справа сидит Е.
Ответ Г:Е

Задача 10.
Получается, что Ира и Катя, а также Катя и Эля живут на одном этаже. Значит, они живут на втором.

На первом этаже тогда живут Аня и Оля.
Ответ Д:Аня и Оля;