Разбор самых простых задач математической олимпиады Кенгуру для 5-6 класса (задачи 1-6 уровня Ш-2015)

В уровне "Школьник" в Международной математической олимпиаде "Кенгуру" соревнуются ученики 5 и 6 классов. В этом уровне, как в в последующих, участникам даётся уже 30 задач, на выполнение которых выделяется 75 минут. Максимальное количество баллов, которые может набрать участник, равно 30+40+50 = 120.

Давайте начнём разбор решений и ответов с самых простых задач. Многие из них можно предложить и ученикам начальной школы, которые увлекаются математикой.

Задача 1. Половинка (3 балла).
В какой из изображённых в ответах фигур, закрашена ровно половина площади?

Варианты ответа:
А: ; Б: ; В: ; Г: ; Д: ;

Решение
Легко видеть, что ровно половина площади закрашена в ответе Б. А если время не поджимает, можно в качестве разминки пятикласснику предложить определить, какая часть каждой фигуры закрашена (и попутно вспомнить, что такое дробь).
В ответе А закрашена одна третья часть. В ответе Б - одна вторая, в ответе В - три четверти, в ответе Г - одна четверть. а в ответе Д закрашены две пятые.

Правильный ответ: Б 

Задача 2. Зонтик "Кенгуру" (3 балла).
На моём зонтике написано слово KANGAROO, как показано на рисунке. На каком из предложенных в ответах рисунков изображён НЕ мой зонтик?

Варианты ответа:
А: ; Б: ; В: ; Г: ; Д: ;

Решение
Эта задача почти такая же, как и задача для 3-4 классов, но чуть сложнее. Требуется найти конфигурацию, которой нет на зонтике, а не единственную, которая на нём есть.

Опять-таки, учтём, что при виде сбоку буквы будут перевёрнутыми, а часть слова будет чистаться справа налево. На первый взгляд кажется, что все комбинации букв встречаются на зонтике. Но затем замечаем, что в варианте В вместо латинской буквы R используется кириллическая буква Я. Это и будет требуемым вариантом ответа.

Правильный ответ: В 

Задача 3. 9 клеток (3 балла).
Веселун разрисовал 9 квадратиков белым, серым и чёрным цветами так, как показано на рисунке. Какое наимеьшее количество квадратиков надо перекрасить, тчобы никакие два квадратика, у которых общая сторона, не были одного цвета?

Варианты ответа:
А: 2; Б: 3; В: 4; Г: 5; Д: 6;

Решение
В правом верхнем углу есть 2 смежных серых квадратика. Чтобы выполнялось требование задачи, нудно перекрасить правый верхний в чёрный цвет, А в группе трёх чёрных квадратиков нужно нижний левый перекрасить в серый цвет. Итого 2 квадратика - ответ А.

Правильный ответ: А 2

Задача 4. Утки-несушки (3 балла).
В хозяйстве есть 10 уток. 5 из них каждый день откладывают по одному яйцу. Другие 5 откладывают по одному яйцу через день. Сколько яиц снесут 10 уток за 10 дней?

Варианты ответа:
А: 75; Б: 60; В: 50; Г: 25; Д: 10;

Решение
Те 5 уток, которые несутся каждый день, за день сносят по 5 яиц. Значит, за 10 дней они снечут 5х10 = 50 яиц. А те 5 уток, которые несутся через день, каждые 2 дня снесут по 5 яиц. Значит, за 10 дней они снесут 10:2х5 = 25 яиц. Итого 50+25 = 75 яиц.

Правильный ответ: А 75


Задача 5. Зелёная линия (3 балла).
На рисунке изображена часть клетчатой доски. Площадь каждой клетки на ней равна 4 см². Чему равна длина толстой зеленой линии?

Варианты ответа:
А: 16 см; Б: 18 см; В: 20 см; Г: 21 см; Д: 23 см;

Решение
Если площадь квадрата равна 4 см², то его сторона равна 2 см (так как 2х2 = 4). Внимательно подсчитаем, через сколько сторон квадратиков пройдёт зелёная линия. Она проходит через 9 сторон. Значит, её длина равна 9х2 = 18 см.

Правильный ответ: Б 18 см

Задача 6. Дроби (3 балла).
Какая из предложенных в ответах дробей меньше 2?

Варианты ответа:
А: $\frac{19}{8}$; Б: $\frac{20}{9}$; В: $\frac{21}{10}$; Г: $\frac{22}{11}$; Д: $\frac{23}{12}$;

Решение
Среди вариантов ответа есть дроби со знаменателями 8, 9, 10, 11 и 12. Как будет выглядеть число 2, будучи записанным дробями с такими знаменателями? $2 = \frac{2}{1}= \frac{18}{8}= \frac{18}{9}= \frac{20}{10}= \frac{22}{11}= \frac{24}{12}$.
Теперь видно, что только дробь $\frac{23}{12}$ из ответа Д оказывается меньше двух.

Правильный ответ: Д $\frac{23}{12}$