Вторая часть ЗНО по математике: алгебраические выражения и теория вероятности

Во второй части ЗНО по математике требуется установить соответствия между четырьмя объектами, пронумерованными 1, 2, 3, 4 и пятью другими объектами, обозначенными буквами А, Б, В, Г, Д.

Задача 22. Алгебра. Выражения
Установите соответствие  между заданным выражением (1-4) и тождественным ему (А-Д), при условии, что $a\neq 0; a\neq 1; a\neq -1$

1. $\frac{a}{a+1}\cdot\frac{a^2-1}{a}$
2. $a^2+\frac{a^3-1}{1-a}$
3. $\frac{1-a}{a}:\frac{a^2-1}{a}$
4. $\frac{a-2}{a-1}-1$

А. a-1
Б. -a-1
В. $-\frac{1}{a+1}$
Г. $-\frac{1}{a-1}$
Д. $a+1$

Решение

Чтобы найти правильные ответы, достаточно знать формулы разности квадратов и разности кубов.

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

И, разумеется, уметь сокращать дроби и приводить их к общему знаменателю. Вот, что получается:

1. $\frac{a}{a+1}\cdot\frac{a^2-1}{a}=\frac{a}{a+1}\cdot\frac{(a-1)(a+1)}{a}=a-1$
1-A

2. $a^2+\frac{a^3-1}{1-a}=a^2+\frac{(a-1)(a^2+a+1)}{1-a}=a^2-(a^2+a+1)=-a-1$
2-Б

3. $\frac{1-a}{a}:\frac{a^2-1}{a}=\frac{1-a}{a}\cdot\frac{a}{a^2-1}=\frac{1-a}{(a-1)(a+1)}=-\frac{1}{a+1}$
3-В

4. $\frac{a-2}{a-1}-1=\frac{a-2-(a-1)}{a-1}=-\frac{1}{a-1}$
4-Г

Забавно - составители даже не перемешивали варианты ответа! Но не надейтесь, что на ЗНО будет так же просто :)

Ответ: 1-A 2-Б 3-В 4-Г

Задача 23. Теория вероятности.
Из всех натуральных чисел, больших 9 и меньших 20, наугад выбирают одно. Установите соответствие между событием (1-4) и его вероятностью (А-Д).

События:
1. выбранное число - простое.
2. выбранное число - двузначное.
3. выбранное число будет делителем числа 5
4. сумма цифр выбранного числа будет делиться на 3

Вероятности: 
А. 0
Б. 0,2
В 0,3
Г 0,4
Д 1

Решение
По определению вероятности, $p=\frac{m}{n}$, где n - общее число событий, а m - число удовлетворяющих нас исходов.

Общее число событий будет 10: именно столько натуральных чисел, больших 9 и меньших 20.
1. Сколько среди них простых? Это числа 11, 13, 17, 19. Значит, вероятность вытащить простое число равна 0,4
1-Г

2. Сколько среди них двузначных? Да все! Вероятность - единица.
2-Д

3. Сколько среди них делителей числа 5? У числа 5 всего 2 делителя - это числа 1 и 5. Ни одно из них не входит в диапазон с 10 по 19 включительно. Значит, вероятность равна 0.
3-А.

4. У скольких чисел сумма цифр будет делиться на 3? Это числа 12, 15 и 18. Их три и вероятность равна 0,3
4-В

Ответ: 1-Г, 2-Д, 3-А, 4-В.