Условие задачи
Единичный отрезок случайным образом разбивается на две части. Затем большая часть опять случайным образом разбивается на две. Какова вероятность того, что из этих трёх частей можно составить треугольник?
Решение
Сначала отрезок разбивается на части x и 1-x. Чтобы не учитывать, что для второго разбиения берётся более длинный отрезок, можно сразу принять, что число x выбирается из диапазона от 0 до 0,5.
Затем отрезок 1-x делится на отрезки длинами y и 1-x-y. Для упрощения дальнейших расчётов примем, что y выбирается в диапазоне от 0 до 0,5-0,5x, а затем скомпенсируем это ограничение, умножив итоговую вероятность на 2.
Итак, чтобы треугольник со сторонами x, y, 1-x-y существовал, необходимо и достаточно выполнение неравенства треугольника: любая сторона меньше суммы двух других и больше модуля их разности.
Рассмотрим сторону x. Она гарантированно меньше суммы сторон y+1-x-y=1-x. Что же касается разности, то вследствие введённых нами ограничений на y, 1-x-y>y, и модуль разности сторон будет равен 1-x-2y.
Получаем неравенство: x>1-x-2y Откуда: y>0,5-x
Поскольку, учитывая начально введённое ограничение на y, он может принять любое значение, меньшее 0,5-0,5x, то вероятность того, что при некотором x можно будет составить треугольник, равна
=\frac{0,5-0,5x-(0,5-x)}{0,5-0,5x}=\frac{0,5x}{0,5-0,5x}=\frac{x}{1-x}=\frac{1}{1-x}-1)
Общая вероятность получить треугольник будет равна
\text{d}x=-\ln (1-x)-x|_0^{0.5}=-\ln 0.5 - 0.5 = \ln 2 - 0.5)
Умножая её на два, получим:
2ln2-1=ln4-1
0,3863
Единичный отрезок случайным образом разбивается на две части. Затем большая часть опять случайным образом разбивается на две. Какова вероятность того, что из этих трёх частей можно составить треугольник?
Решение
Сначала отрезок разбивается на части x и 1-x. Чтобы не учитывать, что для второго разбиения берётся более длинный отрезок, можно сразу принять, что число x выбирается из диапазона от 0 до 0,5.
Затем отрезок 1-x делится на отрезки длинами y и 1-x-y. Для упрощения дальнейших расчётов примем, что y выбирается в диапазоне от 0 до 0,5-0,5x, а затем скомпенсируем это ограничение, умножив итоговую вероятность на 2.
Итак, чтобы треугольник со сторонами x, y, 1-x-y существовал, необходимо и достаточно выполнение неравенства треугольника: любая сторона меньше суммы двух других и больше модуля их разности.
Рассмотрим сторону x. Она гарантированно меньше суммы сторон y+1-x-y=1-x. Что же касается разности, то вследствие введённых нами ограничений на y, 1-x-y>y, и модуль разности сторон будет равен 1-x-2y.
Получаем неравенство: x>1-x-2y Откуда: y>0,5-x
Поскольку, учитывая начально введённое ограничение на y, он может принять любое значение, меньшее 0,5-0,5x, то вероятность того, что при некотором x можно будет составить треугольник, равна
Общая вероятность получить треугольник будет равна
Умножая её на два, получим:
2ln2-1=ln4-1
