Приближения числа пи из его цифр: промежуточные результаты с использованием степеней

При решении задачи выражения числа пи его цифрами, многие результаты, полученные с помощью только четырёх арифметических действий, удалось улучшить, использовав возведение в степень.

Для восьми цифр результат Наталии Макаровой:
3+1/4x1-5/9² = 3,13(8)
даёт такую же точность, как и формула без степеней. А для 9, 12, 14 и 19 цифр hippie на dxdy нашёл такие результаты:
3+1/4-1⁵/9+2^-6 /5=3,142013(8)
3+1/4-1⁵/9+2^-6/5-3^-5/8 = 3,1414994...
3+1/4-1⁵/9+2^-6/5-3^-5/8/9x7 = 3,14163797...
3+1/4-1⁵/9+2^-6/5-3^-5/8/9x7-9^-3/2³/8 = 3,141592363...

Они все являются десятичными периодическими дробями, просто периоды большинства будут достаточно длинными.

Сложные задачи, которые вам раньше не встречались

Координаторы олимпиады "Кенгуру" в Винницкой области, Игорь Михайлович Кривошея и Татьяна Станиславовна Збожинская, являются также представителями членами Администратисного совета Международного математического комитета и его официальными представителями в Украине. От них на математическом семинаре в Яремче мы узнали о Международном чемпионате по решению математических задач.

Этот чемпионат проводится с 1985 года, а Украина в нём участвует с 2002 года и наши неоднократно завоёвывают медали. Одной из особенностей чемпионата является оригинальность задач, их чаще всего не встретить в "математическом фольклоре". Подытоживая свой опыт участия в нём, авторы издали книгу "Задачі міжнародних математичних чемпіонатів", в которой более 800 задач, предлагавшихся на отборочных турах и суперфинале с 2002 года по сей день.

Попробуйте решить некоторые из них.
1. В окружность вписаны три правильных многоугольника. У первого из них вдвое больше сторон, чем у второго. Если у каждого многоугольника взять по одной стороне, из этих сторон можно построить прямоугольный треугольник. Сколько сторон в каждом многоугольнике?

Продолжаем готовиться к ЗНО

По просьбе читателя блога разберём задание ЗНО по математике на показательные неравенства.

Условие

Решите неравенство $3 \cdot 9^x -2\cdot 15^x -5^{2x+1}>0$

Если у неравенства есть целые решения, укажите наибольшее из них. Если у неравенства есть решения, но невозможно указать наибольшее целое из них, то укажите в ответе число 50. Если решений нет, в ответ запишите число 100.

Решение

В каждом слагаемом есть неизвестное в показателе. Преобразуем их немного:

Решения задач пробного ЗНО 2014 по математике

Вчера прошло пробное ЗНО по математике. Как правило, задачи пробного ЗНО позволяют хорошо спрогнозировать, что ждёт выпускников на "настоящем" ЗНО, которое состоится 12 июня 2014 года.

У вас есть ещё 2,5 месяца на подготовку, и чтобы провести их с пользой, разберите решения и ответы вчерашнего ЗНО.

Давайте начнём с конца, с самых сложных и интересных задач.

Задача 34. Тригонометрия, функции, задачи с параметром
Найдите наименьшее значение параметра а, при котором уравнение
$2^{\sin^2\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)}=\frac{4}{(x-a)^2-6(x-a)+13}$
имеет положительный корень.

Решение

Задания отборочного этапа XVI Всеукраинского турнира юных математиков - Часть 2

Задача 6. Геометрическое место точек

Дана окружность $\omega$, на котором обозначены точки А, В и С. Пусть BF и CE - высоты треугольника АВС, М - середина стороны АС. Найдите геометрическое место точек пересечения прямых BF и ME для всех возможных положений точки А на окружности $\omega$.

Пакет задач олимпиады Кенгуру №6: антье, степень, цифры

Условия задач

Задача 27. Студент (11 класс), 3й уровень, 2005 год
При каком наибольшем значении параметра a выполняется неравенство $x^2=a[x]\{x\}$?,
А:1; Б:2; В:3; Г:4; Д:5;