ЗНО по математике: интеграл и метод интервалов

Задача 27. Интеграл
Вычислите $\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{5 ctg x \sin x dx}$

Решение
Преобразуем подынтегральное выражение

$ctg x \sin x = \frac{\cos x}{\sin x}\sin x=\cos x$
Таким образом, интеграл примет вид:

$\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{5 \cos x dx}=5\sin x | _{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}=5\left(\sin \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{6}\right)=5\left(1-\frac{1}{2}\right) = 2,5$

Ответ: 2,5

Чтобы решить эту задачу, нужно  знать:

• Связь между тригонометрическими функциями
• Таблицу первообразных
• Значения синусов табличных углов.

Задача 28. Решение неравенства
Решите неравенство $(18+2x)^2(x^2+8x+15)\leq 0$. В ответ запишите сумму всех целых решений.

Решение

Решение задачи 7. Жук на ленте

Условие задачи

Один конец резиновой ленты неподвижно закреплён, а за другой тянут с постоянной скоростью v. У неподвижного конца ленты находится жук, который начинает ползти вдоль неё со скоростью u. Когда жук доползёт до противоположного конца ленты, если начальная длина ленты равна L?

Решение задачи 5. Треугольник из отрезков

Условие задачи

Единичный отрезок случайным образом разбивается на две части. Затем большая часть опять случайным образом разбивается на две. Какова вероятность того, что из этих трёх частей можно составить треугольник?