Чему равен синус тридцати пяти градусов

На вопрос, чему равен синус тридцати пяти градусов:

• Математик ответил, что синус тридцати пяти градусов не выражается алгебраическим числом.
• Инженер прикинул: синус тридцати равен одной второй, синус сорока пяти равен корню из двух на два, это примерно ноль целых семь десятых, значит, интерполировав, синус тридцати пяти будет равен примерно пятьдесят семь сотых.
• Физик достал калькулятор, нажал кнопки DEG - 3 - 5 - sin, результат округлил до тысячных и получил 0.574.
• Школьник на контрольной работе по решению треугольников достал четырёхзначные таблицы Брадиса, порадовался, что угол дан в целых градусах и не нужно брать поправку на минуты и секунды, и нашёл в таблице результат: 0,5726
• Программист написал функцию, вычисляющую синус как сумму ряда Тейлора: $35-\frac{35^3}{3!}+\frac{35^5}{5!}-\frac{35^7}{7!}+\frac{35^9}{9!}-\dots$, но упёрся в пороговое значение double. "А, так аргумент ведь в радианах брать надо было!" - догадался он, и пообещал исправить ошибку в следующей версии.
• Математик-тролль ответил, что синус тридцати пяти градусов в точности равен косинусу пятидесяти пяти градусов.
• Юный любитель математики и будущий обладатель медали Филдса, задумав расширить табличку синусов, которую старший брат как раз изучал на уроках алгебры, построил с помощью транспортира угол в 35 градусов, достроил его до прямоугольного треугольника, измерил противолежащий катет и гипотенузу и нашёл их отношение: $\frac{39}{68}$.
• А на лекциях такого не было! - применил своё стандартное заклинание студент-первокурсник.
• Синус тридцати пяти градусов равняется, как вычислить sin 35, ышт 35 градусов посчитать, синус, косинус, математика, решение, 9 класс, скачать учебник гдз ответы на ЗНО и ЕГЭ 2016 без регистрации и смс, - написал СЕОшник.

Это была присказка. Перейдём теперь к непосредственному изложению сути этого поста.

Превращаем цифры в забавных животных - занятие для будущих первоклассников и их родителей

Давайте чуть-чуть отвлечёмся от математики и вспомним, что ещё лето. Вот какие забавные рисунки попались в одноклассниках. Берём цифры или числа и превращаем их в рисунки! Отличное занятие для того, чтобы провести время с будущими первоклассниками!

Из числа 29 получился лебедь:

Акула из двух двоек:

Кстати, вот как из двух двоек получить пятёрку, пользуясь тригонометрическими функциями

Цапля из одной двойки:

Как Ричард Фейнман победил японского вычислителя

В книге нобелевского лауреата Ричарда Фейнмана "Вы, конечно же, шутите, мистер Фейнман", описывается интересное математическое состязание. Приводим его с нашими математическими комментариями по переводу книги из Библиотеки Мошкова.

Первое время, когда я приехал в Бразилию, я не знал, в какое время там принято обедать. Я приходил в рестораны, когда там никого не было, заказывал рис со стейком (который очень любил), а четыре официанта стояли вокруг.

Как-то в ресторан зашел японец. Я видел его раньше, он бродил поблизости, пытаясь продавать счеты. Он заговорил с официантами и бросил им вызов, сказав, что может складывать числа быстрее, чем кто-либо другой. Они не очень-то хотели терять лицо и сказали: "Да, конечно. Почему бы тебе ни поспорить вон с тем посетителем?"

Он подошел ко мне, но я запротестовал: "Но я не достаточно хорошо говорю по-португальски!"

Официанты засмеялись и сказали: "Числа - это просто".

Они принесли мне карандаш и бумагу.

Синусы каких углов выражаются формулами?

В 8 классе ученики заучивают таблицу синусов и других тригонометрических функций. Она выглядит так:

Школьная таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

угол $\alpha$, o	0	30	45	60	90
sin$\alpha$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
cos$\alpha$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
tg$\alpha$	0	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	1	$\sqrt{3}$	-
ctg$\alpha$	-	$\sqrt{3}$	1	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	0

Есть очень хороший мнемонический приём, позволяющий запомнить значения тригонометрических функций табличных углов. Однако составители ЗНО, видимо, считают, что держать эти числа в голове не стоит, потому как всегда помещают тригонометрическую таблицу на обложку тетрадей с задачами тестирования.

Нерадивые ученики наличием такой таблицы объясняют своё нежелание заучивать формулы. Но у интересующихся математикой закономерно возникает другой вопрос - а выражаются ли с помощью формул с корнями синусы других целых углов?

У кого шансы вытащить жребий больше: у первого или остальных

Часто в ситуациях, когда нужно тянуть жребий, участники оспаривают друг у друга порядок его вытягивания. Они полагают, что от порядка зависит вероятность успеха или неудачи. Покажем, что это не так. Для примера можно рассматривать вытягивание одной короткой спички среди 5 длинных или самый экстремальный случай - игру в русскую рулетку. Но вдохновила на написание этого поста задача, предложенная участником группы "Типичный математик" в VK. Её и разберём.

Задача по теории вероятности
Есть 10 карт, из них 7 красных и 3 черных. Их раздают десяти игрокам по очереди (каждому по одной). Верно ли, что при большом количестве экспериментов, вероятность выпадения первому игроку черных карт больше, чем остальным?

Решение

Приближение числа пи с помощью формул со скобками

Всё-таки интересно, насколько использование скобок сможет улучшить полученные в нашей математической игре приближения числа пи.

На назве семёныч сразу предложил взять классические 22/7, и ставшие поводом для праздника, так:
(3x1+4+1+5+9)/(2x6-5)=22/7

На dxdy A.Edem эту же дробь получает более экономно:
((3+1)х4+1+5)/(9-2) = 22/7

Для следующей подходящей дроби числа пи, 355/113, оказалось, нужно ненамного больше цифр (правда, если ещё разрешить и "склеивания"):
(31+4x1⁵x9²)/(5³+5-8-9)

Однако результат, который даёт китайское приближение пи, как показал hippie на dxdy, может быть достигнут и с 10-ю и с 9-ю цифрами, причём без склеиваний и степеней:
355/113 = 3-(1-4+1)/(5+9/(2+6)+5+3) = 3-1x4x(1-5)/(9x2x6+5)

Со склеиванием можно получить более точное выражение для восьми цифр:
3+14*1/592*6 = 3.14(189)

Приближения числа пи из его цифр: промежуточные результаты с использованием степеней

При решении задачи выражения числа пи его цифрами, многие результаты, полученные с помощью только четырёх арифметических действий, удалось улучшить, использовав возведение в степень.

Для восьми цифр результат Наталии Макаровой:
3+1/4x1-5/9² = 3,13(8)
даёт такую же точность, как и формула без степеней. А для 9, 12, 14 и 19 цифр hippie на dxdy нашёл такие результаты:
3+1/4-1⁵/9+2^-6 /5=3,142013(8)
3+1/4-1⁵/9+2^-6/5-3^-5/8 = 3,1414994...
3+1/4-1⁵/9+2^-6/5-3^-5/8/9x7 = 3,14163797...
3+1/4-1⁵/9+2^-6/5-3^-5/8/9x7-9^-3/2³/8 = 3,141592363...

Они все являются десятичными периодическими дробями, просто периоды большинства будут достаточно длинными.

Формулы приближения числа пи из собственных цифр (без использования степеней)

Идея игры с цифрами числа пи многим посетителям математических сообществ пришлась по вкусу.

Сразу fiviol на dxdy улучшил результат с пятью цифрами.
$3\cdot 1^4+1/5 = \pi+0.0584\dots$

Как указал Антон в комментарии к этому блогу, такой результат можно получить даже не прибегая к степени:
3+1-4*1/5 = 3.2

Вообще, среди результатов можно выделить три направления:

• Решения с дополнительным ограничением даже на использование степеней, выражающие число пи только четырьмя арифметическими действиями;
• Решения в базовом наборе правил;
• Решения в расширенном наборе правил, со сцеплением цифр и скобками.

Варианты выражения числа пи без степеней можно полностью исследовать до большего количества цифр, чем остальные. Вот какие на данный момент получаются наилучшие приближения. Часть их была получена в сообществе "Типичный математик", часть - на dxdy и часть - мною.

3 = 3
3*1 = 3
3+1/4 = 3.25
3+1/4*1 = 3.25
3+1-4*1/5 = 3.2
3+1/4*1*5/9 = 3.13(8)
3+1/4+1-5/9*2 = 3.13(8)
-3+1/4+1-5/9*2+6 = 3.13(8)
3+1/4-1*5/9*2+6-5=3.13(8)
3+1/4+1-5/9-2/6*5/3 = 3.13(8)
3-1/4+1*5/9*2-6/5*3/5 = 3.14(1)
3+1+4+1/5/9/2*6-5+3/5/8 = 3.141(6)

Поиграем с цифрами числа пи

Как стоит отмечать день числа пи? Придумать какое-то математическое развлечение, в котором бы фигурировало это число!

Давайте попробуем получить число, наиболее близкое к пи, составив арифметическое выражение из нескольких начальных цифр его десятичной записи.

При этом будем следовать правилам:

• Цифры в выражении должны идти в том же порядке, в каком они идут в записи числа пи
• Допускается использовать только сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень.

Вот несколько первых результатов:
3 (погрешность 0,14159...)
3х1 (погрешность 0,14159...)
3+1/4 (погрешность 0,10840...)
3+1/4х1 (погрешность 0,10840...)
3+1/4-1/5 (погрешность 0,09159...)
Сможете продолжить? Вот вам побольше цифр, берите из них первые 6, 7, 8 и т.д. и получайте свои формулы!
п = 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286...

Форма расчёта налогов

Mark J. P. Wolf поделился на mathpuzzle.com разработанной им математической головоломкой. Нужно заполнить налоговую форму так, чтобы число на строке 20 оказалось равным нулю. Существует ровно одно число, которое нужно указать в строке 1, чтобы получить нужный эффект. Сможете ли вы его найти?

Форма расчёта налогов

Число 142857 и подобные ему

Число 142857 часто фигурирует в числовых фокусах «быстрого умножения» или в списках чисел с занимательными свойствами. И есть отчего. Ведь произведения этого числа на 2, 3, 4, 5 и 6 получаются из исходного циклической перестановкой цифр:

142857x2 = 285714
142857x3 = 428571
142857x4 = 571428
142857x5 = 714285
142857x6 = 857142

Почему же это число такое особенное?

Международный день числа пи

22 июля отмечается Международный день числа пи. А также по чистой (не?)случайности – это день рождения проекта Приглашение в мир математики. Поэтому сегодня мы разберёмся, каким образом дата 22.07 относится к числу пи, как запомнить побольше его знаков после запятой, и как получать хорошие рациональные приближения.

Вариации на тему игры Баше

Задача

На столе лежат 25 спичек. Два игрока по очереди могут брать 1, 2, 3 или 4 спички. Выигрывает тот, кто забирает последнюю спичку. Кто выиграет при правильной игре?
Решить ту же задачу, если игроки могут брать 1, 3 или 6 спичек.