У кого шансы вытащить жребий больше: у первого или остальных

Часто в ситуациях, когда нужно тянуть жребий, участники оспаривают друг у друга порядок его вытягивания. Они полагают, что от порядка зависит вероятность успеха или неудачи. Покажем, что это не так. Для примера можно рассматривать вытягивание одной короткой спички среди 5 длинных или самый экстремальный случай - игру в русскую рулетку. Но вдохновила на написание этого поста задача, предложенная участником группы "Типичный математик" в VK. Её и разберём.

Задача по теории вероятности
Есть 10 карт, из них 7 красных и 3 черных. Их раздают десяти игрокам по очереди (каждому по одной). Верно ли, что при большом количестве экспериментов, вероятность выпадения первому игроку черных карт больше, чем остальным?

Решение


Для первого игрока вероятность вытянуть чёрную карту вычисляется легко, она равна $\frac{3}{10}$ - отношению количества чёрных карт к общему количеству карт.

Теперь рассмотрим второго ирока. К нему приходит колода из 9 карт, в которой или 3 или 2 чёрные карты. Колоду с 2 чёрными картами вротой игрок получит с вероятностью $\frac{3}{10}$ (если первый игрок чёрную карту вытянет), а с тремя - с вероятностью $\frac{7}{10}$ (если первый игрок вытащил красную).

Далее, в первом случае у второго игрока вероятность вытащить чёрную равна $\frac{2}{9}$, а во втором она равна $\frac{3}{9}$.

Чему равна общая вероятность для второго игрока вытащить чёрную карту? Вероятность сложного события равна произведению вероятностей событий в цепочке, к нему приводящим. А если одно и то же сложное событие может быть результатом нескольких несовместимых цепочек, то вероятности этих цепочек складываются.

Наглядно это представляется на рисунке:

К вытягиванию вторым игроком чёрной карты ведёт две цепочки.

Первая:
Первый вытащил чёрную, оставил колоду с 2 чёрными картами, и второй из неё вытащил чёрную карту.

Вторая:
Первый вытащил красную, оставил колоду с 3 чёрными картами, и второй из неё вытащил чёрную карту.

Вероятность выполнения первой цепочки равна $\frac{3}{10}\cdot \frac{2}{9} = \frac{1}{15}$, а второй равна $\frac{7}{10}\cdot\frac{3}{9}=\frac{7}{30}$. Общая ветроятность для второго игрока вытащить чёрную карту составит $\frac{1}{15}+\frac{7}{30}=\frac{9}{30}=\frac{3}{10}$.

То есть, ровно столько, сколько и для первого игрока! А красную карту второй игрок вытащит с вероятностью $\frac{7}{10}$

Теперь рассмотрим третьего игрока. К нему приходит колода из 8 карт. В ней может быть 3, 2 или 1 чёрная карта.
3 чёрные карты в ней будкт, если и первый, и второй вытащат красные. Это случится с вероятностью $\frac{7}{10}\cdot\frac{7}{10}=\frac{49}{100}$.
Из такой колоды третий игрок вытащит чёрную с вероятностью $\frac{3}{8}$, значит, общая вероятность этой цепочки событий равна $\frac{49}{100}\cdot\frac{3}{8}=\frac{147}{800}$

2 чёрные карты в передаваемой третьему игроку колоде будет, если первый вытащит чёрную, а второй - красную или первый вытащит красную, а второй - чёрную. Это две цепочки событий, их общая вероятность составит $\frac{3}{10}\cdot\frac{7}{10}+\frac{7}{10}\cdot\frac{3}{10} = \frac{42}{100}$.
Из такой колоды третий игрок вытащит чёрную с вероятностью $\frac{2}{8}$, значит, общая вероятность этой цепочки событий равна $\frac{42}{100}\cdot\frac{2}{8}=\frac{21}{200}$

1 чёрная карта  в передаваемой третьему игроку колоде будет, если первый и второй вытащат по чёрной карте. Это случится с вероятностью $\frac{3}{10}\cdot\frac{3}{10} = \frac{9}{100}$.
Из такой колоды третий игрок вытащит чёрную с вероятностью $\frac{1}{8}$, значит, общая вероятность этой цепочки событий равна $\frac{9}{100}\cdot\frac{1}{8}=\frac{9}{800}$

Для третьего игрока общая вероятность вытащить чёрную карту равна:
$\frac{147}{800}+\frac{21}{200}+\frac{9}{800}=\frac{240}{800} = \frac{3}{10}$. Опять три десятых!

По индукции можно доказать равенство всех вероятностей для общего случая, это, пожалуй, будет темой отдельного поста. А пока достаточно знать: при вытягивании жребия, если нет никаких дополнительных условий, всё равно, каким по очереди тянуть.