Уравнение с параметром, корнем и модулями.

На мейловских "Ответах" попалось интересное задание.

Условие
Найдите все параметры а, при которых уравнение
$\sqrt{x^4+(a-5)^4}=|x+a-5|+|x-a+5|$
имеет единственный корень.

Решать его будем так. Во-первых введём новый параметр b=a-5 для упрощения. Уравнение примет вид:
$\sqrt{x^4+b^4}=|x+b|+|x-b|$

Теперь обратим внимание на то, что в условии говорится о количестве решений уравнения. Чтобы узнать количество решений уравнения его часто не нужно решать, достаточно прикинуть, как буду выглядеть графики обеих его частей.

Рассмотрим функцию y = |x+b|+|x-b|

Решение задачи по просьбе читателя

По просьбе читателя блога разбираю решение задачи с параметром, которая вполне может попасться на ЗНО.

Условие.

Найдите наименьшее целое значение параметра а, при котором уравнение $\frac{5}{3x-a}=\frac{3}{ax-4}$ имеет положительный корень.

Решение.
Т.к. в уравнении дроби, то прежде всего найдём ОДЗ. Знаменатели не должны равняться нулю.
$3x-a\neq 0$
$x\neq\frac{a}{3}$

$ax-4\neq 0$
$x\neq\frac{4}{a}$

Решения задач пробного ЗНО 2014 по математике

Вчера прошло пробное ЗНО по математике. Как правило, задачи пробного ЗНО позволяют хорошо спрогнозировать, что ждёт выпускников на "настоящем" ЗНО, которое состоится 12 июня 2014 года.

У вас есть ещё 2,5 месяца на подготовку, и чтобы провести их с пользой, разберите решения и ответы вчерашнего ЗНО.

Давайте начнём с конца, с самых сложных и интересных задач.

Задача 34. Тригонометрия, функции, задачи с параметром
Найдите наименьшее значение параметра а, при котором уравнение
$2^{\sin^2\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)}=\frac{4}{(x-a)^2-6(x-a)+13}$
имеет положительный корень.

Решение