Сложные задачи, которые вам раньше не встречались

Координаторы олимпиады "Кенгуру" в Винницкой области, Игорь Михайлович Кривошея и Татьяна Станиславовна Збожинская, являются также представителями членами Администратисного совета Международного математического комитета и его официальными представителями в Украине. От них на математическом семинаре в Яремче мы узнали о Международном чемпионате по решению математических задач.

Этот чемпионат проводится с 1985 года, а Украина в нём участвует с 2002 года и наши неоднократно завоёвывают медали. Одной из особенностей чемпионата является оригинальность задач, их чаще всего не встретить в "математическом фольклоре". Подытоживая свой опыт участия в нём, авторы издали книгу "Задачі міжнародних математичних чемпіонатів", в которой более 800 задач, предлагавшихся на отборочных турах и суперфинале с 2002 года по сей день.

Попробуйте решить некоторые из них.
1. В окружность вписаны три правильных многоугольника. У первого из них вдвое больше сторон, чем у второго. Если у каждого многоугольника взять по одной стороне, из этих сторон можно построить прямоугольный треугольник. Сколько сторон в каждом многоугольнике?

XXI тур Математического Марафона

Владимир Лецко уже более восьми лет проводит интернет-конкурс "Математический марафон". В каждом туре даются 10 задач. Особенностью 21-го тура является ориентированность (не всех, но большинства задач) на использование компьютера.

Разбор решений начнётся с осени, так что за лето их можно спокойно обдумать.
Присылайте решения на почту val-etc (at) yandex.ru или, зарегистрировавшись на форуме dxdy.ru, личным сообщением пользователю VAL.

Задача ММ201 (3 балла)
Решения принимаются до 11.09.2015

Для каждого натурального $k$ найти все возможные $n$, при которых множество  $\{1, 2, ..., n\}$ можно разбить на классы так, что наибольший элемент в каждом классе ровно в $k$ раз больше количества элементов класса.

Задача ММ202 (5 баллов)
Решения принимаются до 18.09.2015

При каких значениях параметра a разрешимо уравнение  $x^2 - a = \lfloor x \rfloor  \{x\}$?

Задача ММ203 (5 баллов)
Решения принимаются до 25.09.2015

Единичный квадрат разрезали на 5 равновеликих фигур отрезками, параллельными диагоналям. Найти наименьшую возможную суммарную длину этих отрезков.

Задача ММ204 (5 баллов)
Решения принимаются до 2.10.2015

Найти натуральное число, которое в трех различных системах счисления записывается 102, 201 и 20001 соответственно.

Форма расчёта налогов

Mark J. P. Wolf поделился на mathpuzzle.com разработанной им математической головоломкой. Нужно заполнить налоговую форму так, чтобы число на строке 20 оказалось равным нулю. Существует ровно одно число, которое нужно указать в строке 1, чтобы получить нужный эффект. Сможете ли вы его найти?

Форма расчёта налогов