Интересные признаки делимости, о которых обычно не рассказывают в 6 классе

Математика в 6 классе начинается с изучения понятия делимости и признаков делимости. Часто ограничиваются признаками делимости на такие числа:
  • На 2: последняя цифра должна быть 0, 2, 4, 6 или 8;
  • На 3: сумма цифр числа должна делиться на 3;
  • На 4: число, образованное последними двумя цифрами, должно делиться на 4;
  • На 5: последняя цифра должна быть 0 или 5;
  • На 6: число должно обладать признаками делимости на 2 и на 3;
  • Признак делимости на 7 часто пропускается;
  • Редко таже рассказывают и о признаке делимости на 8, хотя он аналогичен признакам делимости на 2 и на 4. Чтобы число делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы трёхцифреное окончание делилось на 8.
  • Признак делимости на 9 знают все: сумма цифр числа должна делиться на 9. Что, правда, не развивает иммунитет против всяческих трюков с датами, которые используют нумерологи.
  • Признак делимости на 10, наверное, самый простой: число должно оканчиваться нулём.
  • Иногда шестиклассникам рассказывают и о признаке делимости на 11. Нужно цифры числа, стоящие на чётных местах сложить, из результата вычесть цифры, стоящие на нечётных местах. Если результат будет делиться на 11, то и само число делится на 11.
признак делимости на 7, 11 и 13, который изучается на уроках математики в 6 классеВернёмся теперь к признаку делимости на 7. Если о нём рассказывают, тот объединяют с признаком делимости на 13 и советуют использовать так.

Берём число. Разбиваем его на блоки по 3 цифры в каждом (самый левый блок может содержать одну или 2 цифры) и попеременно складываем/вычитаем эти блоки.

Если результат делится на 7, 13 (или 11), то и само число делится на 7, 13 (илb 11).

Основан этот способ, как и ряд математических фокусов на том, что 7х11х13 = 1001. Однако что делать с трехзначными числами, для которых вопрос делимости, бывает, тоже не решить без самого деления.

Используя универсальный признак делимости, можно построить относительно простые алгоритмы определения, делится ли число на 7 и другие "неудобные" числа.

Усовершенствованный признак делимости на 7
Чтобы проверить, делится ли число на 7, надо от числа отбросить последнюю цифру и от получившегося результата эту цифру дважды отнять. Если результат делится на 7, то и само число делится на 7.

Пример 1:
Делится ли на 7 число 238?
23-8-8 = 7. Значит, число 238 делится на 7.
Действительно, 238 = 34х7

Это действие можно проводить многократно.
Пример 2:
Делится ли на 7 число 65835?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 делится на 7 (если бы мы этого не заметили, то могли бы сделать ещё 1 шаг: 6-3-3 = 0, а 0 уж точно делится на 7).

Значит, и число 65835 делится на 7.

На основе универсиального признака делимости, можно усовершенствовать признаки делимости на 4 и на 8.

Усовершенствованный признак делимости на 4
Если половина числа единиц в сумме с числом десятков - чётнное число, то число делится на 4.

Пример 3
Делится ли число 52 на 4?
5+2/2 = 6, число чётное, значит, число на 4 делится.

Пример 4
Делится ли число 134 на 4?
3+4/2 = 5, число нечётное, значит, 134 на 4 не делится.

Усовершенствованный признак делимости на 8
Если сложить удвоенное число сотен, число десятков и половину числа единиц, и результат будет делиться на 4, то само число делится на 8.

Пример 5
Делится ли число 512 на 8?
5*2+1+2/2 = 12, число делится на 4, значит, 512 делится на 8.

Пример 6
Делится ли число 1984 на 8?
9*2+8+4/2 = 28, число делится на 4, значит, 1984 делится на 8.

Признак делимости на 12 - это объединение признаков делимсоти на 3 и на 4. Это же работает и для любых n, являющихся произведением взаимнопростых p и q. Чтобы число делилось на n (которое равно произведению pq,актих, что НОД(p,q)=1), одно должно делиться одновремено на p и на q.

Однако будьте внимательны! Чтобы работали составные признаки делимости, множители числа должны быть именно взаимнопростыми. Нельзая сказать, что число делится на 8, если оно делится на 2 и на 4.

Усовершенствованный признак делимости на 13
Чтобы проверить, делится ли число на 13, надо от числа отбросить последнюю цифру и к получившемуся результату её четырежды прибавить. Если результат делится на 13, то и само число делится на 13.

Пример 7
Делится ли на 8 число 65835?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

Число 43 не делится на 13, значит, и число 65835 не делится на 13.

Пример 8
Делится ли на 13 число 715?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 делится на 13, значит, и число 715 делится на 13.

Признаки делимости на 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28 и прочие составные числа, не являющиеся степенями простых, аналогичны признакам делимости на 12. Мы проверяем делимость на взаимно-простыем множители этих чисел.

  • Для14: на 2 и на 7;
  • Для 15: на 3 и на 5;
  • Для 18: на 2 и на 9;
  • Для 21: на 3 и на 7;
  • Для 20: на 4 и на 5 (или, по-другому, последняя цифра должна быть нулём, а предпоследняя - чётной);
  • Для 24: на 3 и на 8;
  • Для 26: на 2 и на 13;
  • Для 28: на 4 и на 7.

Усовершенствованный признак делимости на 16.
Вместо того, чтобы проверять, делится ли 4-циферное окончание числа на 16, можно сложить цифру единиц с увеличенной в 10 раз цифрой десятков, с учетверённой цифрой сотен и с
увеличенной в восемь раз цифрой тысяч, и проверить, делится  ли результат на 16.

Пример 9
Делится ли число 1984 на 16?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 не делится на 16, значит, и 1984 не делится на 16.

Пример 10
Делится ли число 1526 на 16?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 не делитсся на 16, значит, и 1526 делится на 16.

Усовершенствованный признак делимости на 17.
Чтобы проверить, делится ли число на 17, надо от числа отбросить последнюю цифру и от получившегося результата эту цифру пять раз отнять. Если результат делится на 13, то и само число делится на 13.

Пример 11
Делится ли число 59772 на 17?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 делится на 17, значит и число 59772 делится на 17.

Пример 12
Делится ли число 4913 на 17?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 делится на 17, значит и число 4913 делится на 17.

Усовершенствованный признак делимости на 19.
Чтобы проверить, делится ли число на 19, надо удвоенную последнюю цифру прибавить к числу, оставшемуся после отбрасывания последней цифры.

Пример 13
Делится ли число 9044 на 19?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 делится на 19, значит и число 9044 делится на 19.

Усовершенствованный признак делимости на 23.
Чтобы проверить, делится ли число на 23, надо последнюю цифру, увеличенную в 7 раз, прибавить к числу, оставшемуся после отбрасывания последней цифры.

Пример 14
Делится ли число 208012 на 23?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Вообще-то, уже можно заметить, что 253 - это 23, умноженное на 11, но можно сделать ещё 1 шаг)
25+7*3 = 46

46 делится на 21, значит и число 208012 делится на 23.

Признак делимости на 25 простой - существует всего 4 двуциферных окончания для числа, делащегося на 25. Это 00, 25, 50 и 75

При определении делимости на 27 часто, по аналогии с признаками делимости на меньшие степени тройки, пытаются рассматривать сумму цифр числа. Однако, тут немного сложнее. Можно, конечно, разбить число на блоки по 3 цифры и сложить их все. если результат будет делиться на 27, то и само число будет делиться на 27.

А можно отбросить от числа последнюю цифру и , умножив её на 8, отнять от оставшегося числа. Эти два способа можно объединить, чтобы сократить число действий.

Пример 15. 
Делится ли число 142857 на 27?
Разбиваем число на блоки и сложим.
142+857 = 999
Если число 999 делится на 27, что и 142857 делится на 27.

999 = 9*111 = 9*3*37 = 27*37. Значит, и исходное число делилось на 27.

Пример 16. 
Делится ли число 9561123 на 27?
Разбиваем число на блоки и сложим.
9+561+123 = 702

Теперь применим второй признак:
70-8*2 = 54
54 делится на 27, значит, и 9561123 делится на 27.

Усовершенствованный признак делимости на 29.
Чтобы проверить, делится ли число на 29, надо последнюю цифру, увеличенную втрое, отнять от числа, оставшемуся после отбрасывания последней цифры.

Пример 17. 
Делится ли число 40585 на 29?
4058-3*5 = 4043
404-3*3 = 395
39-3*5 = 24

24 не делится на 29, значит иисходное число не делится на 29.

Пользуйтесь! Понятно, что бездумно зазубривать эти признаки делимости не стоит, а поняв, как они построены, вы легко сможете получать свои или, например, развить эту тему в ученическую исследовательскую работу.

4 комментария :

  1. Что за? Есть ошибка в расчетах, плюс несоответствие признаков делимости с примерами.

    ОтветитьУдалить



  2. "Усовершенствованный признак делимости на 16.
    Вместо того, чтобы проверять, делится ли 4-циферное окончание числа на 16, можно сложить цифру единиц с увеличенной в 10 раз цифрой десятков, с учетверённой цифрой сотен и с
    увеличенной в восемь раз цифрой тысяч, и проверить, делится ли результат на 16.

    Пример 9
    Делится ли число 1984 на 16?
    4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
    6+10*2+4*1=6+20+4=30
    30 не делится на 16, значит, и 1984 не делится на 16.

    Пример 10
    Делится ли число 1526 на 16?
    6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
    48 не делитсся на 16, значит, и 1526 делится на 16."
    Проверьте, ошибка в расчетах в 9 примере, плюс вы цифру из разряда тысяч умножали не на 8, а на 2 почему-то. Короче, лажа.

    ОтветитьУдалить