Решения задач 17-20 первой части пробного ЗНО по математике

Задача 17. Стереометрия
Точка М не принадлежит плоскости $\alpha$. Какие из приведённых утверждений верны?
I. Через точку М можно провести только одну плоскость, параллельную плоскости $\alpha$
II. Через точку М можно провести только одну плоскость, перпендикулярную плоскости $\alpha$
III. Через точку М можно провести только одну плоскость, пересекающую плоскость $\alpha$ под углом 45 градусов.

Варианты ответа:

А	Б	В	Г	Д
только I	только IІ	только I и ІІІ	только IІ и ІІІ	І, ІІ и ІІІ

Решение

Достаточно просто вообразить подобную конструкцию (или поднять над "плоскостью"-тетрадкой "точку"-кончик ручки) и понять, что через точку вне плоскости можно провести только одну плоскость, параллельную данной. А перпендикулярных или пересекающих под любыми другими углами плоскостей можно построить сколько угодно.

Ответ: А. только I

Задача 18. Производные. Логарифмы
Найдите производную функции $y=x^7\ln x$

Варианты ответа:

А	Б	В	Г	Д
$y'=7x^5$	$y'=7x^6\ln x+x^6$	$y'=x^6\ln x+x^6$	$y'=7x^6\ln x$	$y'=7x\ln x+x^6$

Решение
Забавно, что эту задачу можно решить, следуя советам из нашей статьи "Как правильно ответить на ЗНО, если не знаешь, что отвечать". Действительно, о чём нам говорят варианты ответа?
1. 3 голоса из пяти за то, что ответ - это сумма двух выражений.
2. 4 голоса из пяти за то, что ответ начинается с коэффициента 7.
3. 3 голоса из пяти за то, что второе слагаемое - $x^6$

Согласно этому "голосованию", правильным должен оказаться ответ Б: $y'=7x^6\ln x+x^6$

Проверим, так ли это, найдя производную по формулам. Используем правило "Производная произведения - это производная первого множителя на второй плюс производная второго на первый".
$(uv)'=u'v+v'u$

Поскольку $(x^7)'=7x^6$, а $(\ln x)'=\frac{1}{x}$, то
$y'=7x^6\ln x+x^7\cdot\frac{1}{x}=7x^6\ln x+x^6$ - действительно, мы получили вариант ответа Б!

Однако, ещё раз подчеркну - используйте метод "угадывания через голосование" лишь в самом крайнем случае, на свой страх и риск. Стопроцентной гарантии он не даёт, в отличие от знаний и умения эти знания применять.

Ответ: Б. $y'=7x^6\ln x+x^6$
 
Задача 19. Стереометрия. Конус. Подобие
Объём конуса равен 64 см$^3$. Через середину его высоты параллельно основанию проведена плоскость. Полученное сечение является основанием меньшего конуса, вершина которого совпадает с вершиной заданного. Найдите объём меньшего конуса.

Варианты ответа:

А	Б	В	Г	Д
32 см$^3$	16 см$^3$	12 см$^3$	8 см$^3$	4 см$^3$

Решение
Даже рисовать конус не стоит. Помните про подобие? Так как меньший конус отрезали от большего, проведя плоскость, параллельную основанию через середину высоты, то он подобен большему с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$. Значит, все линейные размеры в конусах относятся как 1:2, все площади - как 1:4, а объёмы - как 1:8. Значит, объём меньшего конуса в 8 раз меньше объёма большего, т.е. составит 64 : 8 = 8 см$^3$


Ответ: Г. 8 см$^3$

Задача 20. Логарифмы. Неравенства.
Решите неравенство $3+\log_2 x\geq 0$

Варианты ответа:

А	Б	В	Г	Д
$\left[\frac{1}{8};+\infty\right)$	$\left(0;\frac{1}{8}\right]$	$\left(-\infty;\frac{1}{8}\right]$	$\left[8;+\infty\right)$	$\left[-6;+\infty\right)$

Решение
Решение логарифмического неравенства начинаем с ОДЗ:
$x>0$
Это сразу отметает варианты ответа В и Д.

Теперь преобразовываем.
$3+\log_2 x\geq 0$
$\log_2 x\geq -3$
$x\geq 2^{-3}$
$x\geq \frac{1}{8}$
$x\in \left[\frac{1}{8};+\infty\right)$

Все решения из этого множества удовлетворяют и ОДЗ.

Ответ: А. $\left[\frac{1}{8};+\infty\right)$