XXI тур Математического Марафона

Владимир Лецко уже более восьми лет проводит интернет-конкурс "Математический марафон". В каждом туре даются 10 задач. Особенностью 21-го тура является ориентированность (не всех, но большинства задач) на использование компьютера.

Разбор решений начнётся с осени, так что за лето их можно спокойно обдумать.
Присылайте решения на почту val-etc (at) yandex.ru или, зарегистрировавшись на форуме dxdy.ru, личным сообщением пользователю VAL.

Задача ММ201 (3 балла)
Решения принимаются до 11.09.2015

Для каждого натурального $k$ найти все возможные $n$, при которых множество  $\{1, 2, ..., n\}$ можно разбить на классы так, что наибольший элемент в каждом классе ровно в $k$ раз больше количества элементов класса.

Задача ММ202 (5 баллов)
Решения принимаются до 18.09.2015

При каких значениях параметра a разрешимо уравнение  $x^2 - a = \lfloor x \rfloor  \{x\}$?

Задача ММ203 (5 баллов)
Решения принимаются до 25.09.2015

Единичный квадрат разрезали на 5 равновеликих фигур отрезками, параллельными диагоналям. Найти наименьшую возможную суммарную длину этих отрезков.

Задача ММ204 (5 баллов)
Решения принимаются до 2.10.2015

Найти натуральное число, которое в трех различных системах счисления записывается 102, 201 и 20001 соответственно.



Задача ММ205 (7 баллов)
Решения принимаются до 9.10.2015

Вася выписывает в порядке возрастания натуральные числа, имеющие по 2016 натуральных делителей. На каком шаге он впервые выпишет число, не кратное 2016?

Задачи ММ205 и ММ206 является прямым продолжением задачи ММ77

Задача ММ206  (11 баллов)
Решения принимаются до 23.10.2015

Каждое из $n$ натуральных чисел, идущих подряд, имеет ровно $k$ натуральных делителей. Какое наибольшее значение может принимать n, если
1) $k = 18$;
2) $k = 20$;
3) $k = 22$;
4) $k = 202$.

Задача ММ207 (13 баллов)
Решения принимаются до 6.11.2015

Обозначим через $A(a,d)$ максимально возможное количество последовательных натуральных чисел таких, что первое из имеет ровно $a$ натуральных делителей, второе - $a+d$, третье - $a+2d$ и т.д. (иными словами, количества делителей последовательных чисел образуют арифметическую прогрессию с первым членом a и знаменателем $d$).
1) найти наибольшее возможное значение $A(n,1)$;
2) найти наибольшее возможное значение $A(n,3)$;
3) найти $A(2,2)$;
4) найти $A(4,2)$;
5) доказать, что при подходящем n  $A(n,2) \ge 8$.

Задача ММ208 (7 баллов)
От двух до пяти.
Решения принимаются до 13.11.2015

Найти наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы пяти натуральных слагаемых  не менее чем четырьмя способами,  таким образом, что любые три слагаемых взаимно просты, а любые два не взаимно просты,.

Задача ММ209 (9 баллов)
Эта задача прямое продолжение задач ММ29 и ММ39
Решения принимаются до 27.11.2015

Назовем натуральное число a третькубом, по основанию g, если дважды приписав в g-ичной системе a к себе получим полный куб. Доказать, что существует бесконечно много оснований g, для которых есть третькубы.

Задача ММ210 (13 баллов)
Решения принимаются до 13.12.2015

1.  Пусть $М = \{ha, hb, hc, ba, bb, bc, ma, mb, mc\}$ - множество, состоящее из величин высот, биссектрис, и медиан некоторого треугольника. Сколько элементов может быть в M?
2. Пусть в разностороннем треугольнике ABC $(a < b < c)$ и множество М из п.1 содержит 9 элементов. Соответствующие числа расположили в порядке возрастания. Сколько различных упорядочиваний может при этом получится?
3. Тот же вопрос для случая, когда среди чисел $\{ha, hb, hc, ba, bb, bc, ma, mb, mc\}$ могут быть одинаковые. (В этом случае полагаем $a \le b \le c$ и рассматриваем строгое упорядочивание классов одинаковых величин. Перестановки внутри класса не важны.)

Примечание. 
Получить ответ для каждого из случаев:
1) рассматриваются только невырожденные треугольники;
2) допускаются вырожденные треугольники (все вершины лежат на одной прямой).