Разбор задач 11-15 для 2 класса математической олимпиады Кенгуру (уровень М2 2015)

Рассмотрим теперь, как второклассники должны были решать самые сложные задачи уровня Малыш-2 в математической олимпиаде "Кенгуру". Если вы готовитесь к новой олимпиаде (а уже пора бы начинать :) ), то такие разборы будут хорошей практикой.

Задача 11. Плитки (5 баллов).
Какой плитки не хватает в узоре?

Варианты ответа:
А: ; Б: ; В: ; Г: ; Д: ;

Решение
Это задание третьего уровня, поэтому нужно быть предельно внимательным.
На первый вгляд может показаться, что звёздочек всего два вида: светлые и тёмные. Но если приглядеться, заметим, что тёмные звёздочки бывают двух видов: большие и маленькие.

Как звёздочки расположены вокруг отверстия на мозаике? Сверху большая тёмная, снизу справа - маленькая тёмная, снизу слева - светлая. Так как плитку можно поворачивать, на ней половинки этих звёздочек должны быть расположены по часовой стрелке.

На плитке А после большой тёмной здезды по ходу часовой стрелки идёт светлая, а не маленькая тёмная.
На плитке Б вообще две светлые половинки.
А вот на плитке В тёмные и светлая части звёздочки расположены в правильном порядке.
Это задача треьего уровня, поэтому нелишним будет потратить немного времени и убедиться, что мы нигде не ошиблись и плитки Г и Д действительно не подходят.

Правильный ответ: В 

Задача 12. Дата с пятёрками (5 баллов).
Дату 5 мая 2015 года записывают так: 05.05.2015. В этой записи используются три цифры 5. Когда впервые после этой даты снова в записи даты будут использовать три пятёрки?

Варианты ответа:
А: 5 мая 2025 года; Б: 15 июна 2055 года; В: 15 мая 2050 года; Г: 25 мая 2015 года; Д: 15 мая 2015 года;

Решение
Нам нужно найти, когда похожая дата произойдёт впервые. Будет ли ещё раз такая дата в мае? Если будет, она будет записываться как __.05.2015. Две пятёрки уже точно есть.
Будут ли в мае числа, после пятого, в которых есть пятёрка? Да, это 15-е и 25-е мая.
15-е мая наступит раньше, значит, нужная нам дата: 15.05.2015, ответ Д.

Правильный ответ: Д 15 мая 2015 года;

Задача 13. Цифры в клеточках (5 баллов).
Цифры 1, 2, 3, 4, 5 записаны по одной в клеточки так, что все равенства верные. Какое число записано в клеточку, отмеченную знаком вопроса?

Варианты ответа:
А: 1; Б: 2; В: 3; Г: 4; Д: 5;

Решение
Цифры у нас разбиты в три группы: по две и в одну. Так как примеры на сложение, то цифра в клеточке со знаком вопроса будет больше, чем любая из цифр в остальных клеточках. Выходит, это пятёрка, а запись могла быть такой: 1+4 = 5 = 3+2.

Кстати, учеников более старших классов можно спросить о количестве способов расставить цифры по клеточкам.

Правильный ответ: Д 5

Задача 14. Флажки на трассе (5 баллов).
Вдоль прямой трассы установили 11 флажков. Первый флажок установили на старте, последний - на финише. Расстояние между соседними флажками равно 8 метров. Какова длина трассы?

Варианты ответа:
А: 24 м; Б: 48 м; В: 72 м; Г: 80 м; Д: 88 м;

Решение
Мотивы этой задачи для второго класса встречаются и в загадках на смекалку для взрослых. Многие забывают, что если вдоль пути есть несколько отметок (деревьев, флажков, полосок, этажей), то промежутков между ними будет на один меньше. А расстояние считается именно по промежуткам.

Здесь, если флажков 11, то между ними 10 промежутков. Длина каждого промежутка 8 метров. Значит, от старта до финиша 80 метров.

Правильный ответ: Г 80 м.

Задача 15. Прыжки по кружочкам (5 баллов).
Кенгурёнок Веселун прыгает из одного кружочка вдоль линии в соседний одним прыжком. Сколькими разными способами, выполнив 4 прыжка, Веселун сможет допрыгать из кружка с буквой "С" (Старт) в кружок с буквой "Ф" (Финиш), если в каждом круге он не может побывать более одного раза?

Варианты ответа:
А: 3; Б: 4; В: 5; Г: 6; Д: 7;

Решение
Это ещё одна задача для второклассника, которая заставит задуматься многих взрослых. После конкурса её обсуждали в группе конкурса "Кенгуру" в Вконтакте. Чтобы не потеряться в вариантах подсчёта, будем рассматриваться возможные направления движения последовательно.

Если сначала пойти вверх, то оттуда можно будет пойти только вправо (возвращаться нельзя). Далее есть 2 варианта пути: вправо или вниз. Для каждого из этих вариантов четвёртый шаг будет единственно возможным - на кружок Финиша.

В силу симметрии два способа прийти от Старта к Финишу будет и если сделать первый прыжок вниз.

Если сначала прыгнуть направо, то для второго прыжка будет 2 варианта: вверх или вниз. Вправо нельзя, т.к. к финицу надо пройти за 4 шага, и влево возвращаться тоже нельзя.

После прыжка вверх или вниз прыгать влево нельзя, ведь тогда нам не хватит оставшегося прыжка, чтобы попасть к финишу. Поэтому нужно прыгать вправо. И последний, 4й прыжок также определён однозначно.

Выходит, всего 6 способов: по 2 еслли начинать прыгать вверх, вправо или вниз.

Правильный ответ: Г 6