Условие задачи
Найдите закономерность и вычислите сумму всех элементов последовательности
Решение
Сначала найдём закономерность. Понятно, что знаменатели представляют собой последовательные степени двойки.
Рассмотрим последовательность числителей и вычислим разности первого и второго порядка:
0, -1, -1, -1, 0, 2, 6, 13, 25
-1, 0. 0. 1, 2, 4, 7, 12
1, 0, 1, 1, 2, 3, 5
Можно заметить, что разности второго порядка – это последовательность Фибоначчи!
Попробуем обнаружить некий рекуррентный закон среди разностей первого порядка.
-1, 0. 0. 1, 2, 4, 7, 12 - Здесь каждый последующий член на единицу больше суммы двух предыдущих. Это позволяет найти закономерность в исходной последовательности:
0, -1, -1, -1, 0, 2, 6, 13, 25 -
,если начинать с индекса, равного 1
Можно для неё вывести формулу общего члена и таким образом свернуть ряд, но можно заметить, что последовательность
0, -1, -1, -1, 0, 2, 6, 13, 25, …
представляет собой разность последовательностей Фибоначчи
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34
и натурального ряда
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Так что искомая сумма равна
)
=4-4=0)
Подробнее о том, как вычисляются эти суммы можно почитать в статье о суммировании бесконечных рядов.
Найдите закономерность и вычислите сумму всех элементов последовательности
Решение
Сначала найдём закономерность. Понятно, что знаменатели представляют собой последовательные степени двойки.
Рассмотрим последовательность числителей и вычислим разности первого и второго порядка:
0, -1, -1, -1, 0, 2, 6, 13, 25
-1, 0. 0. 1, 2, 4, 7, 12
1, 0, 1, 1, 2, 3, 5
Можно заметить, что разности второго порядка – это последовательность Фибоначчи!
Попробуем обнаружить некий рекуррентный закон среди разностей первого порядка.
-1, 0. 0. 1, 2, 4, 7, 12 - Здесь каждый последующий член на единицу больше суммы двух предыдущих. Это позволяет найти закономерность в исходной последовательности:
0, -1, -1, -1, 0, 2, 6, 13, 25 -
Можно для неё вывести формулу общего члена и таким образом свернуть ряд, но можно заметить, что последовательность
0, -1, -1, -1, 0, 2, 6, 13, 25, …
представляет собой разность последовательностей Фибоначчи
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34
и натурального ряда
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Так что искомая сумма равна
Подробнее о том, как вычисляются эти суммы можно почитать в статье о суммировании бесконечных рядов.
