Как находить бесконечные суммы: часть 1

Рассказ о суммировании бесконечных рядов начну анекдотом из математического фольклора, который я сегодня опубликовал на «Десяти Буквах»

В магазин пришло бесконечное множество математиков. Первый попросил килограмм сахара, второй - полкило, третий - четверть килограмма...
-Так! - прервал их продавец, - Забирайте свои два килограмма и проваливайте.

Итак, первый вопрос, который рассмотрим – почему сумма равна двум.

Докажем этот факт двумя способами.

В первом способе вообще нет нужды оперировать с бесконечными последовательностями, поэтому его можно показать даже в 6 классах, сразу после изучения степеней.

Рассмотрим сумму



Прибавим к обеим частям дробь . Получим:



Но , так что



Затем схлопнется сумма двух дробей, каждая из которых равна :





Сумма будет сворачиваться с правого края, как ряд костяшек домино. Закончится это выражением:



Так что


Понятно, что чем больше n, тем меньше S будет отличаться от двух.
Для решения вторым способом опять запишем искомую сумму


А также половину этой суммы:


B вычтем из первого равенства второе:



Все слагаемые, кроме первого, уничтожатся и мы получим:


Значит S=2.

Данный метод используется в общем виде для вывода формулы суммы геометрической прогрессии.

Итак, наш первый результат сегодня:



Рассмотрим теперь сумму


В конечном виде, скажем, до 1997 члена, она появлялась на олимпиадах для 7 или 8 класса.

В решениях предлагалось воспользоваться закономерностью:




И т.д.

Тогда сумма превращается в:


Что даёт нам единицу (Или , если рассматривать только первые 1997 слагаемых.)

Но ключевой вопрос: как додуматься до этой закономерности? Оказывается, если в знаменателе дроби стоит произведение, то она представляется суммой дробей, у которых знаменатели раны множителям, входящим в это произведение.

В данном случае

Найдём эти А и В, сведя сумму обратно к общему знаменателю:


Числители должны быть тождественно равны, поэтому
A+B=0 и A=1.

Значит B=-1. Отсюда и получаем соотношение:


Такой подход применим и когда в знаменателях стоят более сложные произведения.


Итак, мы получили, что

Теперь рассмотрим, что выйдет, если знаменателями дробей будут степени двойки, а числителями – последовательные натуральные числа. (Аналогичная задача поднималась в статье о механическом генераторе случайных чисел.)
Найдём сумму
.

Это также можно сделать двумя способами. В первом обозначим искомую сумму как S, найдём её половину и вычтем половину из целого:

.
.
.


Значит S=4

Второй способ несколько более длинный, но построен на не менее красивой идее.
Запишем сумму в виде треугольника:








Так что искомая сумма равна

Итак, третий результат: .

На сегодня достаточно. А через неделю рассмотрим, что будет, если в третьей сумме в числителях будут идти числа Фибоначчи, как Эйлер доказал, что сумма обратных квадратов равна одной шестой квадрата числа пи, и почему гармонической ряд расходится.