Как решать задачи с корнями на ЗНО

В третьей части ЗНО по математике было 2 задачи с корнями: упрощение выражения и система уравнений.

Задача 29. Упрощение выражения
Вычислите значение выражения  $\left(\sqrt[6]{27}-\sqrt[4]{100}\right)\cdot\left(\sqrt[6]{27}+\sqrt[4]{100}\right)$

Решение

Здесь произведение суммы и разности одних и тех же чисел. Значит, можно применить формулу сокращённого умножения: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

$\left(\sqrt[6]{27}-\sqrt[4]{100}\right)\cdot\left(\sqrt[6]{27}+\sqrt[4]{100}\right)=\left(\sqrt[6]{27}\right)^2-\left(\sqrt[4]{100}\right)^2=\sqrt[3]{27}-\sqrt{100}=3-10=-7$

Здесь мы также использовали свойство возведения корня в степень:
$\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[\frac{n}{m}]{a}=a^{\frac{m}{n}}$

Ответ: -7

Задача 30. Система уравнений
Решите систему уравнений:
$\begin{cases} \sqrt{y-7x+33}=x \\ 4x-y=5 \end{cases}$
Если у системы одно решение $(x_0;y_0)$ , то в ответ запишите произведение $x_0 y_0$, если решений два $(x_1;y_1)$ и $(x_2;y_2)$, то в ответ запишите наибольшее из произведений: $x_1 y_1$ или $x_2 y_2$


Решение
Используем метод подстановки. Из второго уравнения выражаем у:
у = 4х - 5

Подставляем его в первое:
$\sqrt{4x-5-7x+33}=x$
$\sqrt{28-3x}=x$

ОДЗ:
$x \geq 0$ и  $28-3x \geq 0$
$\begin{cases}x \geq 0 \\ x\leq\frac{28}{3}\end{cases}$
$x\in[0;\frac{28}{3}]$

Теперь можно решать уравнение, возведя обе части в квадрат:
$28-3x=x^2$
$x^2+3x-28=0$

По теореме Виета, $x_1 = -7, x_2 = 4$

В ОДЗ входит только второй корень. Находим у.
у = 4 * 4 - 5 = 11

В ответ нужно записать произведение х у = 4 * 11 = 44
Ответ: 21