Задания отборочного этапа XVI Всеукраинского турнира юных математиков - Часть 1

Финал XVI Всеукраинского турнира юных математиков планируется провести в октябре-ноябре 2013 года. Приводим задания, рекомендуемые для отборочных этапов турнира.


Официальный сайт турнира юных математиков

Задача 1. Упрощение выражения.

Пусть дан многочлен Q(x) n-й степени с действительными коэффициентами и набор действительных чисел $\lambda_1<\lambda_2<\dots<\lambda_{n+1}$. Упростите выражение:

$\phi(x)=\sum\limits_{i=1}^{n+1}\alpha_i Q(x+\lambda_i)$,
где $\alpha_i=\prod\limits_{j=1, j\neq i}^{n+1}(\lambda_i-\lambda_j)^{-1},1\leq i \leq n+1$

Задача 2. Неравенство с параметром.

Найдите все такие действительные значения параметра а, при которых неравенство
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>\frac{a}{x+y}+\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}}$
имеет место для всех x>0 и y>0

Задача 3. Туристический поход.

Туристический поход длился Т часов. Туристы вышли из лагеря и сначала двигались по горизонтальному участку маршрута. Подом преодолели подъём, а после привала длительностью в 1 час этим же путём вернулись в лагерь. Известно, что горизонтальным участком они двигались со скоростью u км/4, поднимались со скоростью v км/4, а спускались - со скоростью w км/ч.

Найдите необходимые и достаточные условия, при которых общее расстояние, пройденное туристами в походе, определяется однозначно.

Задача 4. Пираты, сокровище и математика.

Пусть N и k - заданные натуральные числа. N пиратов нашли клад из одинаковых золотых монет и решили разделить его между собой. Для этого пираты подходили к сундуку по одному и брали себе одну монету и k-ю часть оставшихся в сундуке монет.

После того, как последний пират забрал свои монеты, оставшиеся в сундуке монеты оказалось возможным разделить поровну.

4.1. Для N=2027 и k=2013 найдите наименьшее количество монет в кладе, для которого описанных подход был бы возможным.

4.2. Исследуйте величину S(N,k) - наименьшее количество монет в кладе, при котором описанный делёж возможен.

Задача 5. Многочлен.

5.1. Существует ли такой многочлен P(x) с действительными коэффициентами, чтобы для всех действительных x выполнялось равенство
$P(x+x^2)=x+x^2+\dots+x^{2013}+x^{2014}$?

5.2. Существует ли такой многочлен P(x) с действительными коэффициентами, чтобы для некоторых действительных чисел a и b и всех действительных x выполнялось равенство
$P(x+x^2+x^3)=x+x^2+\dots+x^{2010}+ax^{2011}+bx^{2012}+x^{2013}$?

Комментариев нет :

Отправить комментарий