Время от времени я нахожу в математических группах ВКонтакте просьбы о решении школьных математических задач и разбираю их в своём блоге. Вот, например, в одной из контрольных работ самой сложной, 10-й задачей была такая.
Условие
Найти наименьший положительный корень уравнения
1 - sin 2x = (cos 2x + sin 2x)2
Решение
Во-первых, обратим внимание, что во всех тригонометрических функциях аргумент одинаковый и равен 2х. Сделаем замену:
t = 2x
Уравнение превращается в:
1 - sin t = (cos t + sin t)2
Теперь раскроем правую часть, пользуясь формулами сокращённого умножения и тригонометрическими тождествами.
1 - sin t = cos2 t + 2 sin t cos t + sin2 t
1 - sin t = 1 + 2 sin t cos t
- sin t = 2 sin t cos t // вот тут не стоит торопиться сворачивать удвоенное произведение синуса на косинус в синус двойного угла
Показаны сообщения с ярлыком уравнение. Показать все сообщения
Показаны сообщения с ярлыком уравнение. Показать все сообщения
Уравнение с параметром, корнем и модулями.
На мейловских "Ответах" попалось интересное задание.
Условие
Найдите все параметры а, при которых уравнение
$\sqrt{x^4+(a-5)^4}=|x+a-5|+|x-a+5|$
имеет единственный корень.
Решать его будем так. Во-первых введём новый параметр b=a-5 для упрощения. Уравнение примет вид:
$\sqrt{x^4+b^4}=|x+b|+|x-b|$
Теперь обратим внимание на то, что в условии говорится о количестве решений уравнения. Чтобы узнать количество решений уравнения его часто не нужно решать, достаточно прикинуть, как буду выглядеть графики обеих его частей.
Рассмотрим функцию y = |x+b|+|x-b|
Условие
Найдите все параметры а, при которых уравнение
$\sqrt{x^4+(a-5)^4}=|x+a-5|+|x-a+5|$
имеет единственный корень.
Решать его будем так. Во-первых введём новый параметр b=a-5 для упрощения. Уравнение примет вид:
$\sqrt{x^4+b^4}=|x+b|+|x-b|$
Теперь обратим внимание на то, что в условии говорится о количестве решений уравнения. Чтобы узнать количество решений уравнения его часто не нужно решать, достаточно прикинуть, как буду выглядеть графики обеих его частей.
Рассмотрим функцию y = |x+b|+|x-b|
Интересный способ решать кубическое уравнение
Иногда попадаются кубические уравнения типа такого
$x^3-(\sqrt{2}+1) x^2+2=0$
Мало того, что оно кубическое, неприведённое, так в нём ещё иррациональные коэффициенты. Прямо руки опускаются, если не знать одной хитрости.
Обратим внимание, что среди коэффициентов уравнения имеются двойка и корень из двух. Сделаем замену $y = \sqrt{2}$
Уравнение примет вид:
$x^3-y\cdot x^2 -x^2+y^2=0$
Относительно икса оно кубическое, а относительно игрека - квадратное. Вот и решим его относительно игрека:
$y^2 -x^2 \cdot y +x^3 -x^2=0$
$x^3-(\sqrt{2}+1) x^2+2=0$
Мало того, что оно кубическое, неприведённое, так в нём ещё иррациональные коэффициенты. Прямо руки опускаются, если не знать одной хитрости.
Обратим внимание, что среди коэффициентов уравнения имеются двойка и корень из двух. Сделаем замену $y = \sqrt{2}$
Уравнение примет вид:
$x^3-y\cdot x^2 -x^2+y^2=0$
Относительно икса оно кубическое, а относительно игрека - квадратное. Вот и решим его относительно игрека:
$y^2 -x^2 \cdot y +x^3 -x^2=0$
XXI тур Математического Марафона
Владимир Лецко уже более восьми лет проводит интернет-конкурс "Математический марафон". В каждом туре даются 10 задач. Особенностью 21-го тура является ориентированность (не всех, но большинства задач) на использование компьютера.
Разбор решений начнётся с осени, так что за лето их можно спокойно обдумать.
Присылайте решения на почту val-etc (at) yandex.ru или, зарегистрировавшись на форуме dxdy.ru, личным сообщением пользователю VAL.
Задача ММ201 (3 балла)
Решения принимаются до 11.09.2015
Для каждого натурального $k$ найти все возможные $n$, при которых множество $\{1, 2, ..., n\}$ можно разбить на классы так, что наибольший элемент в каждом классе ровно в $k$ раз больше количества элементов класса.
Задача ММ202 (5 баллов)
Решения принимаются до 18.09.2015
При каких значениях параметра a разрешимо уравнение $x^2 - a = \lfloor x \rfloor \{x\}$?
Задача ММ203 (5 баллов)
Решения принимаются до 25.09.2015
Единичный квадрат разрезали на 5 равновеликих фигур отрезками, параллельными диагоналям. Найти наименьшую возможную суммарную длину этих отрезков.
Задача ММ204 (5 баллов)
Решения принимаются до 2.10.2015
Найти натуральное число, которое в трех различных системах счисления записывается 102, 201 и 20001 соответственно.
Разбор решений начнётся с осени, так что за лето их можно спокойно обдумать.
Присылайте решения на почту val-etc (at) yandex.ru или, зарегистрировавшись на форуме dxdy.ru, личным сообщением пользователю VAL.
Задача ММ201 (3 балла)
Решения принимаются до 11.09.2015
Для каждого натурального $k$ найти все возможные $n$, при которых множество $\{1, 2, ..., n\}$ можно разбить на классы так, что наибольший элемент в каждом классе ровно в $k$ раз больше количества элементов класса.
Задача ММ202 (5 баллов)
Решения принимаются до 18.09.2015
При каких значениях параметра a разрешимо уравнение $x^2 - a = \lfloor x \rfloor \{x\}$?
Задача ММ203 (5 баллов)
Решения принимаются до 25.09.2015
Единичный квадрат разрезали на 5 равновеликих фигур отрезками, параллельными диагоналям. Найти наименьшую возможную суммарную длину этих отрезков.
Задача ММ204 (5 баллов)
Решения принимаются до 2.10.2015
Найти натуральное число, которое в трех различных системах счисления записывается 102, 201 и 20001 соответственно.
Подписаться на:
Сообщения
(
Atom
)