Разбор задач 19-24 для 3-4 классов олимпиады Кенгуру по математике (решения и ответы на самые сложные задачи уровня М34-2015)

Завершаем разбор решений и ответов на задачи конкурса Кенгуру для 3 и 4 классов. Здесь 6 самых сложных задач, в которых используется комбинаторика, делимость, конструкции и логические рассуждения.

Задача 19. Извилистый берег (5 баллов).
На рисунке - остров, на котором растёт пальма и сидят несколько лягушек. Остров ограничен береговой линией. Сколько лягушек сидят НА ОСТРОВЕ?

Варианты ответа:
А: 5; Б: 6; В: 7; Г: 8; Д: 10;

Решение
При решении этой задачи на компьютере можно использовать инструмент "Заливка". Теперь наглядно видно, что на острове сидят 6 лягушек.

Сделать что-то подобное этой заливке можно было и карандашом на листочке условий. Но есть ещё один интересный способ, позволяющий определить, находится ли точка внутри замкнутой несамопересекающейся кривой или снаружи.

Соединим эту точку (лягушку) с точкой, о которой мы точно знаем, что она находится снаружи кривой. Если соединяющая линия будет иметь нечётное количество пересечений с кривой, то наша точка лежит внутри (т.е. на острове), а если чётное - то снаружи (на воде)

Правильный ответ: Б 6

Задача 20. Числа на мячах (5 баллов).
У Мудрагелика 10 мячей, пронумерованных от 0 до 9. Он разделил эти мячи между тремя своими друзьями. Ласунчик получил три мяча, Красунчик - четыре, Сонько - три. Потом Мудрагелик попросил каждого их своих друзей перемножить числа на полученных мячах. Ласунчик получил произведение, равное 0, Красунчик - 72, а Сонько - 90. Все кенгурята правильно перемножили числа. Чему равна сумма чисел на тех мячах, которые получил Ласунчик?

Варианты ответа:
А: 11; Б: 12; В: 13; Г: 14; Д: 15;



Решение
Понятно, что среди трёх мячей, которые получил Ласунчик, есть число 0. Осталось найти ещё 2 числа. У Красунчика целых 4 мяча, поэтому проще будет сначала найти, какие три числа от 1 до 9 нужно перемножить, чтобы получить 90, как у Сонька? 90 = 9х10 = 9х2х5. Это будет единственным способом представить 90 в виде произведения чисел на мячах. Ведь если бы у Сонька один из мячей был с единицей, то требовалось бы 90 разбить в произведение двух множителей, меньших 10-ти, что невозможно.

Итак, у Ласунчика есть 0 и два других мяча, у Сонька мячи 2, 5, 9.
Четыре мяча Красунчика дают в произведении 72. Давайте сначала 72 разобьём в произведение двух множителей, чтобы потом каждый из этих множителей разбить ещё на 2:
72 = 1х72 = 2х36 = 3х24 = 4х18 = 6х12 = 8х9

Из этих вариантов сразу вычёркиваем:
1х72 - потому, что 1 мы не разобьём в 2 разных множителя
2х36 - потому, что 2 разбивается только как 1х2, но мяча с числом 2 у Красунчика точно нет
8х9 - потому, что 9 разбивается как 1х9 (его не разбить как 3х3, так как двух мячей с тройками нет), а девятки у Красунчика тоже нет

Остаются варианты:
3х24 - разбивается в 4 множителя как 1х3х4х6
4х18 - разбивается в 4 множителя как 1х4х3х6, то есть так же, как и первый вариант
6х12 - разбивается как 1х6х3х4 (ведь, напомним, мяча с двойкой нет).

Итак, для набора мячей Красунчика есть единственный вариант. У него мячи 1, 3, 4, 6.

Для Ласунчика, кроме мяча с числом 0, остаются мячи 7 и 8. Их сумма равна 15

Правильный ответ: Д 15

Задача 21. Верёвки (5 баллов).
Три верёвки прикреплены к доске так, как показано на рисунке. Вы можете прикрепить к ним ещё три и получить цельную петлю. Какие из верёвок, приведённых в ответах, дадут возможность это сделать?
По данным группы "Кенгуру" ВКонтакте, эту задачу правильно решили всего 14,6% участников математической олимпиады из третьего и четвёртого классов.

Варианты ответа:
А: ; Б: ; В: ; Г: ; Д: ;

Решение
Эту задачу можно решать, мысленно прикладывая картинку к картинке и внимательно проверяя соединения. А можно поступить чуть-чуть оптимальнее. Перенумеруем верёвки и запишем строку 123132 - это окончания петель на данном в условии рисунке. Теперь над концами верёвок в вариантах ответов тоже поподписываем эти числа.

Теперь легко видеть, что в варианте А верёвка 2 соединяется сама с собой. В варианте Б сама с собой соединяется верёвка 1. А вот в варианте В все верёвки соединяются между собой в одну большую петлю.

Правильный ответ: В 

Задача 22. Рецепт эликсира (5 баллов).
Чтобы приготовить эликсир, надо смешать пять видов ароматных трав, масса которых определяется равновесием весов, изображённых на рисунке (массой самих весов мы пренебрегаем).  Знахарь знает, что в эликсир нужно положить 5 граммов шалфея. Сколько граммов ромашки он должен взять?


Варианты ответа:
А: 10 г; Б: 20 г; В: 30 г; Г: 40 г; Д: 50 г;

Решение
Базилика нужно взять столько же, сколько и шалфея, то есть тоже 5 граммов. Мяты столько, сколько шалфея и базилика вместе (массу самих весов мы по условию не учитываем). Значит, мяты надо брать 10 граммов. Мелисы надо брать столько, сколько мяты, шалфея и базилика, то есть 20г. И ромашки - столько, сколько всех предыдущих трав, 40 г.

Правильный ответ: Г 40г

Задача 23. Невиданные звери (5 баллов).
Том нарисовал на карточках свинью, акулу и носорога и разрезал каждую карточку так, как показано на рисунке. Теперь он может складывать разных "животных", соединяя одну голову, одну среднюю и одну заднюю часть. Сколько разных фантастических существ может собрать Том?

Варианты ответа:
А: 3; Б: 9; В: 15; Г: 27; Д: 20;

Решение
Это классическая задача на комбинаторику. Задачи на комбинаторику тем хороши, что их можно (и нужно) решать не механически применяя правила вычисления количеств перестановок и сочетания, а рассуждая. Сколько разных вариантов есть для головы животного? Три варианта. А для средней части? Тоже три. Три варианта есть и для хвоста. Значит, всего разных вариантов будет 3х3х3 = 27. Перемножаем эти варианты потому, что к каждой голове можно прилепить любое туловище и любой хвост, так что каждый сегмент животного увеличивает варианты комбинаций именно в 3 раза.

Кстати, в условии есть слово "фантастических". Но ведь комбинируя любые головы, туловища и хвосты, мы будем получать и реальных свинью, акулу и носорога. Так что правильным ответом должно было быть 24 фантастических животных и три реальных. Однако, видимо, опасаясь разных толкований условия, авторы  не включили вариант 24 в ответы. Поэтому выбираем ответ Г, 27. Да и кто знает, вдруг на рисунках тоже изображены фантастическая говорящая свинья, фантастическая летающая акула и фантастический носорог, доказавший теорему Ферма? :)

Правильный ответ: Г 27

Задача 24. Кенгурята-пекари (5 баллов).
Мудрагелик, Ласунчик, Красунчик, Хитрун и Сонько пекли пирожные в субботу и воскресенье. За это время Мудрагелик спёк 48 пирожных, Ласунчик – 49, Красунчик – 50, Хитрун – 51, Сонько – 52. Оказалось, что в воскресенье каждый кенгурёнок спёк пирожных больше, чем в субботу. Один из них спёк вдвое больше, один - в 3 раза, один – в 4 раза, один – в 5 раз, а один – в 6 раз.
Кто из кенгурят спёк у субботу больше всего пирожных?

Варианты ответа:
А: Мудрагелик; Б: Ласунчик; В: Красунчик; Г: Хитрун; Д: Сонько;

Решение
Давайте сначала подумаем, какую информацию нам даёт тот факт, что кто-то спёк в воскресенье пирожных ровно в 2 раза больше, чем в субботу? Если в субботу кенгурёнок спёк сколько-то пирожных, то в воскресенье - столько и ещё столько. Значит, всего за два дня он спёк втрое (1+2 = 3) больше пирожных, чем в субботу.

Ну и что? А то, что, например, 49 или пирожных он не мог спечь, так как эти числа не делятся на 3.

Выходит, у того, кто в воскресенье спёк втрое больше пирожных, чем в субботу, общее их число должно белиться на 4 = 1+3. Ещё у кого-то - на 5, у кого-то на 6 и у кого-то на 7.

Вырисовывается принцип решения этой задачи. Вот у нас пять чисел: 48, 49, 50, 51, 52. На 3 из них делятся 2 числа (48 и 51) и на 4 - тоже 2 числа (48 и 52). Зато на 5 делится только одно число, 50. Выходит, тот, кто спёк 50 пирожков, в воскресенье спёк в 4 раза их больше, чем в субботу.

На 6 тоже делится только одно число, это 48. Получается, кенгурёнок, который спёк всего 48 пирожных, пёк их так: 8 в субботу и 40 в воскресенье. Ну а дальше просто. Мы получаем, что:
Мудрагелик спёк 48 пирожных: 8 в субботу и 40 в воскресенье (в 5 раз больше)
Ласунчик спёк 49 пирожных: 7 в субботу и 42 в воскресенье (в 6 раз больше)
Красунчик спёк 50 пирожных: 10 в субботу и 40 в воскресенье (в 4 раза больше)
Хитрун спёк 51 пирожное: 17 в субботу и 34 в воскресенье (в 2 раза больше)
Сонько спёк 52 пирожных: 13 в субботу и 39 в воскресенье (в 3 раза больше)

Выходит, в субботу больше всего пирожных спёк Хитрун.

Правильный ответ: Г Хитрун