Приближение числа пи с помощью формул со скобками

Всё-таки интересно, насколько использование скобок сможет улучшить полученные в нашей математической игре приближения числа пи.

На назве семёныч сразу предложил взять классические 22/7, и ставшие поводом для праздника, так:
(3x1+4+1+5+9)/(2x6-5)=22/7

На dxdy A.Edem эту же дробь получает более экономно:
((3+1)х4+1+5)/(9-2) = 22/7

Для следующей подходящей дроби числа пи, 355/113, оказалось, нужно ненамного больше цифр (правда, если ещё разрешить и "склеивания"):
(31+4x1⁵x9²)/(5³+5-8-9)

Однако результат, который даёт китайское приближение пи, как показал hippie на dxdy, может быть достигнут и с 10-ю и с 9-ю цифрами, причём без склеиваний и степеней:
355/113 = 3-(1-4+1)/(5+9/(2+6)+5+3) = 3-1x4x(1-5)/(9x2x6+5)

Со склеиванием можно получить более точное выражение для восьми цифр:
3+14*1/592*6 = 3.14(189)

Приближения числа пи из его цифр: промежуточные результаты с использованием степеней

При решении задачи выражения числа пи его цифрами, многие результаты, полученные с помощью только четырёх арифметических действий, удалось улучшить, использовав возведение в степень.

Для восьми цифр результат Наталии Макаровой:
3+1/4x1-5/9² = 3,13(8)
даёт такую же точность, как и формула без степеней. А для 9, 12, 14 и 19 цифр hippie на dxdy нашёл такие результаты:
3+1/4-1⁵/9+2^-6 /5=3,142013(8)
3+1/4-1⁵/9+2^-6/5-3^-5/8 = 3,1414994...
3+1/4-1⁵/9+2^-6/5-3^-5/8/9x7 = 3,14163797...
3+1/4-1⁵/9+2^-6/5-3^-5/8/9x7-9^-3/2³/8 = 3,141592363...

Они все являются десятичными периодическими дробями, просто периоды большинства будут достаточно длинными.

Формулы приближения числа пи из собственных цифр (без использования степеней)

Идея игры с цифрами числа пи многим посетителям математических сообществ пришлась по вкусу.

Сразу fiviol на dxdy улучшил результат с пятью цифрами.
$3\cdot 1^4+1/5 = \pi+0.0584\dots$

Как указал Антон в комментарии к этому блогу, такой результат можно получить даже не прибегая к степени:
3+1-4*1/5 = 3.2

Вообще, среди результатов можно выделить три направления:

• Решения с дополнительным ограничением даже на использование степеней, выражающие число пи только четырьмя арифметическими действиями;
• Решения в базовом наборе правил;
• Решения в расширенном наборе правил, со сцеплением цифр и скобками.

Варианты выражения числа пи без степеней можно полностью исследовать до большего количества цифр, чем остальные. Вот какие на данный момент получаются наилучшие приближения. Часть их была получена в сообществе "Типичный математик", часть - на dxdy и часть - мною.

3 = 3
3*1 = 3
3+1/4 = 3.25
3+1/4*1 = 3.25
3+1-4*1/5 = 3.2
3+1/4*1*5/9 = 3.13(8)
3+1/4+1-5/9*2 = 3.13(8)
-3+1/4+1-5/9*2+6 = 3.13(8)
3+1/4-1*5/9*2+6-5=3.13(8)
3+1/4+1-5/9-2/6*5/3 = 3.13(8)
3-1/4+1*5/9*2-6/5*3/5 = 3.14(1)
3+1+4+1/5/9/2*6-5+3/5/8 = 3.141(6)

Поиграем с цифрами числа пи

Как стоит отмечать день числа пи? Придумать какое-то математическое развлечение, в котором бы фигурировало это число!

Давайте попробуем получить число, наиболее близкое к пи, составив арифметическое выражение из нескольких начальных цифр его десятичной записи.

При этом будем следовать правилам:

• Цифры в выражении должны идти в том же порядке, в каком они идут в записи числа пи
• Допускается использовать только сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень.

Вот несколько первых результатов:
3 (погрешность 0,14159...)
3х1 (погрешность 0,14159...)
3+1/4 (погрешность 0,10840...)
3+1/4х1 (погрешность 0,10840...)
3+1/4-1/5 (погрешность 0,09159...)
Сможете продолжить? Вот вам побольше цифр, берите из них первые 6, 7, 8 и т.д. и получайте свои формулы!
п = 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286...

Как находить бесконечные суммы: часть 2

В первой части мы нашли суммы следующих рядов:


.

Международный день числа пи

22 июля отмечается Международный день числа пи. А также по чистой (не?)случайности – это день рождения проекта Приглашение в мир математики. Поэтому сегодня мы разберёмся, каким образом дата 22.07 относится к числу пи, как запомнить побольше его знаков после запятой, и как получать хорошие рациональные приближения.