До уваги учнів 11-А класу, які знаходяться на карантині

Найти наименьший положительный корень тригонометрического уравнения

Время от времени я нахожу в математических группах ВКонтакте просьбы о решении школьных математических задач и разбираю их в своём блоге. Вот, например, в одной из контрольных работ самой сложной, 10-й задачей была такая.

Условие
Найти наименьший положительный корень уравнения
1 - sin 2x = (cos 2x + sin 2x)²

Решение
Во-первых, обратим внимание, что во всех тригонометрических функциях аргумент одинаковый и равен 2х. Сделаем замену:
t = 2x
Уравнение превращается в:
1 - sin t = (cos t + sin t)²

Теперь раскроем правую часть, пользуясь формулами сокращённого умножения и тригонометрическими тождествами.

1 - sin t = cos²  t + 2 sin t cos t + sin²  t
1 - sin t = 1 + 2 sin t cos t
 - sin t = 2 sin t cos t  // вот тут не стоит торопиться сворачивать удвоенное произведение синуса на косинус в синус двойного угла

Как решать задачу на проценты, определить процент отходов по массам нетто-брутто

Видимо, будущие шестиклассники готовятся к школе, решая задачи наперёд, или повторяют математику за пятый класс. Сегодня на "ответах" появился ряд просьб о помощи с похожими заданиями.

Приведём одну из них и покажем детально по шагам, как они решаются.

Задача на проценты

Для приготовления фреша было взято 3 килограмма апельсина (брутто). После ручной обработки мы получили 2.10 кг (нетто). Определите процент отходов.

Решение задачи на проценты

Задачи на проценты решаются почти так же, как и задачи на дроби. Просто стоит помнить, что один процент - это дробь одна сотая (отсюда и пошло название и символ процента).

Как складывать дроби

Одна читательница в соцсети задала вопрос о том, как сложить дроби. Это хорошая тема для нашего математического школьного справочника.

Самый простой способ сложения дробей

Допустим, нам надо сложить дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{7}$. А складывать можно только дроби с одинаковым знаменателем. На помощь в этом случае приходит основное свойство дроби, изучаемое в 6м классе: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то дробь не изменится.

Поэтому числитель и знаменатель первой дроби, $\frac{3}{5}$, умножим на знаменатель второй дроби, 7. Получаем дробь $\frac{21}{35}$. А числитель и знаменатель второй дроби, $\frac{4}{7}$, умножаем на знаменатель первой, то есть на 5. Получаем дробь $\frac{20}{35}$.

У нас получилась пара дробей с одинаковыми знаменателями. Поэтому просто складываем числители, а знаменатель оставляем.

$\frac{3}{5}+\frac{4}{7} = \frac{21}{35}+\frac{20}{35} = \frac{21+20}{35}=\frac{41}{35}$

Готово!

Попробуем ещё один пример сложения дробей.

Формулы сокращённого умножения - камень преткновения в алгебре 8 класса

Действительно, формулы сокращённого умножения давно вызывают затруднения у школьников, которые пытаются их механически выучить, не понимая принципа. Они, например, упоминаются в хорошем юмористическом рассказе Юрия Сотника "Крокодилёнок" 1950 года.

В то же время использоваться они будут не только в восьмом классе, но и во всей последующей математике, вплоть до задач внешнего тестирования. В этом выпуске "школьного математического справочника" мы сначала представим формулы, а затем расскажем, как они выводятся.

Список формул сокращённого умножения

Выражения с квадратами

1. Как раскрыть квадрат суммы:
Квадрат суммы двух величин равен сумме квадратов этих величин и удвоенного произведения первой величины на вторую.

(a+b)² = a²+2ab+b²

2. Как раскрыть квадрат разности:
Квадрат разности двух величин равен сумме квадратов этих величин, уменьшенному на удвоенное произведение первой величины на вторую.

(a-b)² = a²-2ab+b²

Как называются очень большие числа

В математике пятого класса она из первых тем - это позиционная система счисления. Все знают, что, например, цифра 1 может означать разное число в зависимости от того, на каком месте она стоит. Наша система счисления десятичная, поэтому разрядные единицы отличаются  в 10 раз.

Если хотите узнать, при чём тут Малыш и Карлсон, сколько цифр в квадриллионе и почему европейцев поражает  значение госдолга США всего-навсего в триллион долларов - читайте дальше!

Начальные разрядные единицы это:
1 - единица
10 - десять
100 - сто
1000 - тысяча

Далее идут
10 000 - десять тысяч (в Древней Греции это число называлось мириада и до Архимеда греки считали, что его достаточно, чтобы подсчитать всё на свете).
100 000 - сто тысяч
1 000 000 - миллион. (Кстати, у чисел сто и миллион есть одна интересная особенность. Подумайте, какая, а ответ вы найдёте в блоге о занимательной математике "Десять букв")

После миллиона принцип формирования названий разрядных единиц такой.

Формулы для решения задач на дроби для 5 класса

В 5 классе на уроках математики ученики знакомятся с дробями и процентами. В 6 классе эта тема повторяется, но изучается более глубоко. А встречаться дроби и проценты продолжат вплоть до задач внешнего тестирования (ЗНО) для 11 класса.

Обыкновенная дробь - это пара чисел, записанных через черту.
Число под чертой (знаменатель), показывает, на сколько частей разделили целое.
Число над чертой (числитель) показывает, сколько этих частей выбрано.

То есть дробь $\frac{3}{8}$ (три восьмых) означает, что целое было разделено на 8 частей, а взято из них три.

Существуют три класса задач на дроби: нахождение дроби от числа, нахождение числа по его дроби и выражение отношения чисел в виде дроби.

Как найти дробь от числа

В задачах на дробь от  числа известно само число и дробь, которая от него взята. А найти требуется, какую величину составит эта дробь. Рассмотрим такую задачу

Пример 1.1.
В самолёте 120 пассажиров. $\frac{2}{5}$ (две пятых) из них летят в самолёте в первый раз. Сколько пассажиров летит в первый раз?
Это задача на нахождение дроби от числа.
Есть число: 120.
Есть дробь: $\frac{2}{5}$
Нужно найти, чему равны две пятых от 120.

Решаются задачи на нахождение дроби от числа так.

По каким формулам можно вычислить площадь треугольника

Геометрия 8 класса - это, в основном, площади фигур. Во многих задачах фигурирует треугольник, некоторые элементы которого известны, и требуется найти площадь.

Здесь мы систематизируем формулы площади треугольника, грамотно применяя которые вы сможете решить любую задачу 8 класса по геометрии, а то и олимпиадную геометрическую задачу в 8, 9 или 10 классе.

1. Формула площади треугольника по основанию и высоте

Если в треугольнике известны основание a и проведённая к нему высота h_a, то площадь его будет равна полупроизведению основания на высоту.

$S=\frac{1}{2}a h_a$

2. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Если в треугольнике известны две стороны a и b и угол между ними $\alpha$, то его площадь равна полупроизведению сторон на синус угла между ними.

$S=\frac{1}{2}ab\sin\alpha$

3. Формула площади треугольника по трём сторонам (формула Герона)

Интересные признаки делимости, о которых обычно не рассказывают в 6 классе

Математика в 6 классе начинается с изучения понятия делимости и признаков делимости. Часто ограничиваются признаками делимости на такие числа:

• На 2: последняя цифра должна быть 0, 2, 4, 6 или 8;
• На 3: сумма цифр числа должна делиться на 3;
• На 4: число, образованное последними двумя цифрами, должно делиться на 4;
• На 5: последняя цифра должна быть 0 или 5;
• На 6: число должно обладать признаками делимости на 2 и на 3;
• Признак делимости на 7 часто пропускается;
• Редко таже рассказывают и о признаке делимости на 8, хотя он аналогичен признакам делимости на 2 и на 4. Чтобы число делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы трёхцифреное окончание делилось на 8.
• Признак делимости на 9 знают все: сумма цифр числа должна делиться на 9. Что, правда, не развивает иммунитет против всяческих трюков с датами, которые используют нумерологи.
• Признак делимости на 10, наверное, самый простой: число должно оканчиваться нулём.
• Иногда шестиклассникам рассказывают и о признаке делимости на 11. Нужно цифры числа, стоящие на чётных местах сложить, из результата вычесть цифры, стоящие на нечётных местах. Если результат будет делиться на 11, то и само число делится на 11.

Вернёмся теперь к признаку делимости на 7. Если о нём рассказывают, тот объединяют с признаком делимости на 13 и советуют использовать так.

Берём число. Разбиваем его на блоки по 3 цифры в каждом (самый левый блок может содержать одну или 2 цифры) и попеременно складываем/вычитаем эти блоки.

Если результат делится на 7, 13 (или 11), то и само число делится на 7, 13 (илb 11).

Основан этот способ, как и ряд математических фокусов на том, что 7х11х13 = 1001. Однако что делать с трехзначными числами, для которых вопрос делимости, бывает, тоже не решить без самого деления.

Используя универсальный признак делимости, можно построить относительно простые алгоритмы определения, делится ли число на 7 и другие "неудобные" числа.

Уравнение с параметром, корнем и модулями.

На мейловских "Ответах" попалось интересное задание.

Условие
Найдите все параметры а, при которых уравнение
$\sqrt{x^4+(a-5)^4}=|x+a-5|+|x-a+5|$
имеет единственный корень.

Решать его будем так. Во-первых введём новый параметр b=a-5 для упрощения. Уравнение примет вид:
$\sqrt{x^4+b^4}=|x+b|+|x-b|$

Теперь обратим внимание на то, что в условии говорится о количестве решений уравнения. Чтобы узнать количество решений уравнения его часто не нужно решать, достаточно прикинуть, как буду выглядеть графики обеих его частей.

Рассмотрим функцию y = |x+b|+|x-b|

Справочник формул: как преобразовать сумму тригонометрический функций в произведение и наоборот

Этим постом мы открываем новую рубрику: Справочник. Здесь будут собраны формулы, готовые к употреблению. Параллельно для лучшего понимания эти статьи будут снабжаться ссылками на матераиалы, объясняющими, почему формулы именно такие, а не иные.

Начнём с тригонометрии.

Как преобразовать сумму или разность тригонометрических функций в произведение.

1. Сумма синусов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на косинус полуразности.
$\sin a+\sin a = 2 \sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$
2. Разность синусов равна удвоенному произведению синуса полуразности на косинус полусуммы.
$\sin a-\sin b = 2 \sin \frac{a-b}{2}\cos \frac{a+b}{2}$
3. Сумма косинусов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы на косинус полуразности.
$\cos a+\cos b = 2 \cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$

Интересный способ решать кубическое уравнение

Иногда попадаются кубические уравнения типа такого
$x^3-(\sqrt{2}+1) x^2+2=0$

Мало того, что оно кубическое, неприведённое, так в нём ещё иррациональные коэффициенты. Прямо руки опускаются, если не знать одной хитрости.

Обратим внимание, что среди коэффициентов уравнения имеются двойка и корень из двух. Сделаем замену $y = \sqrt{2}$

Уравнение примет вид:

$x^3-y\cdot x^2 -x^2+y^2=0$

Относительно икса оно кубическое, а относительно игрека - квадратное. Вот и решим его относительно игрека:

$y^2 -x^2 \cdot y +x^3 -x^2=0$

Сколькими способами можно разбить 14 человек на пары

Интересная задачка сегодня встретилась в ВК.
Сколькими способами можно 14 человек разбить на пары?

По инерции, зная формулу числа сочетаний $C_n^m$, может показаться, её нужно применить и здесь. Однако $C_{14}^2=\frac{14\cdot 13}{2}=91$ даст только число способов, которыми можно выбрать одну пару из 14ти человек.

Более того, давайте рассмотрим случай разбивки на пары группы из 4х человек. Это можно сделать тремя способами (ведь неважно, в каком порядке эти пары идут):
(1,2) и (3,4);
(1,3) и (2,4);
(1,4) и (2,3).
Формула же $C_4^2$ даёт результат 6.

Вообще, задачи по комбинаторике лучше решать рассуждением, а не механическим применением формул, (как это часто требуют в школах). Пусть у нас есть 2n человек (ведь при нечётном их количестве пары не соберутся), перенумерованные от 1 до 2n. Сформируем первую пару, взяв первого человека и какого-нибудь ещё. Сколькими способами можно это сделать? Для выбора пары первому человеку существует (2n-1) вариантов.

Как запомнить тригонометрическую формулу

На олимпиаде по математике с большой степенью вероятности, а на внешнем независимом тестировании – уж наверняка встретятся задания по тригонометрии. Тригонометрию часто не любят за необходимость зубрить огромное количество трудных формул, кишащих синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами. На сайте уже когда-то давались советы, как вспомнить забытую формулу, на примере формул Эйлера и Пиля.

А в этой статье мы постараемся показать, что достаточно твёрдо знать всего пять простейших тригонометрических формул, а об остальных иметь общее представление и выводить их по ходу дела. Это как с ДНК: в молекуле не хранятся полные чертежи готового живого существа. Там содержатся, скорее, инструкции по его сборке из имеющихся аминокислот. Так и в тригонометрии, зная некоторые общие принципы, мы получим все необходимые формулы из небольшого набора тех, которые нужно обязательно держать в голове.
Будем опираться на следующие формулы:

1. Основное тригонометрическое тождество: sin²a+cos²a = 1
2. Определение тангенса:
3. Определение котангенса:
4. Формула синуса суммы: sin(a+b) = sinacosb+cosasinb
5. Формула косинуса суммы: cos(a+b) = cosacosb-sinasinb

Решение задачи по просьбе читателя

По просьбе читателя блога разбираю решение задачи с параметром, которая вполне может попасться на ЗНО.

Условие.

Найдите наименьшее целое значение параметра а, при котором уравнение $\frac{5}{3x-a}=\frac{3}{ax-4}$ имеет положительный корень.

Решение.
Т.к. в уравнении дроби, то прежде всего найдём ОДЗ. Знаменатели не должны равняться нулю.
$3x-a\neq 0$
$x\neq\frac{a}{3}$

$ax-4\neq 0$
$x\neq\frac{4}{a}$