Как Ричард Фейнман победил японского вычислителя

В книге нобелевского лауреата Ричарда Фейнмана "Вы, конечно же, шутите, мистер Фейнман", описывается интересное математическое состязание. Приводим его с нашими математическими комментариями по переводу книги из Библиотеки Мошкова.

Первое время, когда я приехал в Бразилию, я не знал, в какое время там принято обедать. Я приходил в рестораны, когда там никого не было, заказывал рис со стейком (который очень любил), а четыре официанта стояли вокруг.

Как-то в ресторан зашел японец. Я видел его раньше, он бродил поблизости, пытаясь продавать счеты. Он заговорил с официантами и бросил им вызов, сказав, что может складывать числа быстрее, чем кто-либо другой. Они не очень-то хотели терять лицо и сказали: "Да, конечно. Почему бы тебе ни поспорить вон с тем посетителем?"

Он подошел ко мне, но я запротестовал: "Но я не достаточно хорошо говорю по-португальски!"

Официанты засмеялись и сказали: "Числа - это просто".

Они принесли мне карандаш и бумагу.

Синусы каких углов выражаются формулами?

В 8 классе ученики заучивают таблицу синусов и других тригонометрических функций. Она выглядит так:

Школьная таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

угол $\alpha$, o	0	30	45	60	90
sin$\alpha$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
cos$\alpha$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
tg$\alpha$	0	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	1	$\sqrt{3}$	-
ctg$\alpha$	-	$\sqrt{3}$	1	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	0

Есть очень хороший мнемонический приём, позволяющий запомнить значения тригонометрических функций табличных углов. Однако составители ЗНО, видимо, считают, что держать эти числа в голове не стоит, потому как всегда помещают тригонометрическую таблицу на обложку тетрадей с задачами тестирования.

Нерадивые ученики наличием такой таблицы объясняют своё нежелание заучивать формулы. Но у интересующихся математикой закономерно возникает другой вопрос - а выражаются ли с помощью формул с корнями синусы других целых углов?

Поиграем с цифрами числа пи

Как стоит отмечать день числа пи? Придумать какое-то математическое развлечение, в котором бы фигурировало это число!

Давайте попробуем получить число, наиболее близкое к пи, составив арифметическое выражение из нескольких начальных цифр его десятичной записи.

При этом будем следовать правилам:

• Цифры в выражении должны идти в том же порядке, в каком они идут в записи числа пи
• Допускается использовать только сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень.

Вот несколько первых результатов:
3 (погрешность 0,14159...)
3х1 (погрешность 0,14159...)
3+1/4 (погрешность 0,10840...)
3+1/4х1 (погрешность 0,10840...)
3+1/4-1/5 (погрешность 0,09159...)
Сможете продолжить? Вот вам побольше цифр, берите из них первые 6, 7, 8 и т.д. и получайте свои формулы!
п = 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286...

Уравнение с параметром, корнем и модулями.

На мейловских "Ответах" попалось интересное задание.

Условие
Найдите все параметры а, при которых уравнение
$\sqrt{x^4+(a-5)^4}=|x+a-5|+|x-a+5|$
имеет единственный корень.

Решать его будем так. Во-первых введём новый параметр b=a-5 для упрощения. Уравнение примет вид:
$\sqrt{x^4+b^4}=|x+b|+|x-b|$

Теперь обратим внимание на то, что в условии говорится о количестве решений уравнения. Чтобы узнать количество решений уравнения его часто не нужно решать, достаточно прикинуть, как буду выглядеть графики обеих его частей.

Рассмотрим функцию y = |x+b|+|x-b|

Интересный способ решать кубическое уравнение

Иногда попадаются кубические уравнения типа такого
$x^3-(\sqrt{2}+1) x^2+2=0$

Мало того, что оно кубическое, неприведённое, так в нём ещё иррациональные коэффициенты. Прямо руки опускаются, если не знать одной хитрости.

Обратим внимание, что среди коэффициентов уравнения имеются двойка и корень из двух. Сделаем замену $y = \sqrt{2}$

Уравнение примет вид:

$x^3-y\cdot x^2 -x^2+y^2=0$

Относительно икса оно кубическое, а относительно игрека - квадратное. Вот и решим его относительно игрека:

$y^2 -x^2 \cdot y +x^3 -x^2=0$

Как решать задачи с корнями на ЗНО

В третьей части ЗНО по математике было 2 задачи с корнями: упрощение выражения и система уравнений.

Задача 29. Упрощение выражения
Вычислите значение выражения  $\left(\sqrt[6]{27}-\sqrt[4]{100}\right)\cdot\left(\sqrt[6]{27}+\sqrt[4]{100}\right)$

Решение