Разбор самых простых задач математической олимпиады Кенгуру для 5-6 класса (задачи 1-6 уровня Ш-2015)

В уровне "Школьник" в Международной математической олимпиаде "Кенгуру" соревнуются ученики 5 и 6 классов. В этом уровне, как в в последующих, участникам даётся уже 30 задач, на выполнение которых выделяется 75 минут. Максимальное количество баллов, которые может набрать участник, равно 30+40+50 = 120.

Давайте начнём разбор решений и ответов с самых простых задач. Многие из них можно предложить и ученикам начальной школы, которые увлекаются математикой.

Задача 1. Половинка (3 балла).
В какой из изображённых в ответах фигур, закрашена ровно половина площади?

Варианты ответа:
А: ; Б: ; В: ; Г: ; Д: ;

Решение
Легко видеть, что ровно половина площади закрашена в ответе Б. А если время не поджимает, можно в качестве разминки пятикласснику предложить определить, какая часть каждой фигуры закрашена (и попутно вспомнить, что такое дробь).
В ответе А закрашена одна третья часть. В ответе Б - одна вторая, в ответе В - три четверти, в ответе Г - одна четверть. а в ответе Д закрашены две пятые.

Правильный ответ: Б 

Задача 2. Зонтик "Кенгуру" (3 балла).
На моём зонтике написано слово KANGAROO, как показано на рисунке. На каком из предложенных в ответах рисунков изображён НЕ мой зонтик?

Варианты ответа:
А: ; Б: ; В: ; Г: ; Д: ;

Решение
Эта задача почти такая же, как и задача для 3-4 классов, но чуть сложнее. Требуется найти конфигурацию, которой нет на зонтике, а не единственную, которая на нём есть.

Как складывать дроби

Одна читательница в соцсети задала вопрос о том, как сложить дроби. Это хорошая тема для нашего математического школьного справочника.

Самый простой способ сложения дробей

Допустим, нам надо сложить дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{7}$. А складывать можно только дроби с одинаковым знаменателем. На помощь в этом случае приходит основное свойство дроби, изучаемое в 6м классе: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то дробь не изменится.

Поэтому числитель и знаменатель первой дроби, $\frac{3}{5}$, умножим на знаменатель второй дроби, 7. Получаем дробь $\frac{21}{35}$. А числитель и знаменатель второй дроби, $\frac{4}{7}$, умножаем на знаменатель первой, то есть на 5. Получаем дробь $\frac{20}{35}$.

У нас получилась пара дробей с одинаковыми знаменателями. Поэтому просто складываем числители, а знаменатель оставляем.

$\frac{3}{5}+\frac{4}{7} = \frac{21}{35}+\frac{20}{35} = \frac{21+20}{35}=\frac{41}{35}$

Готово!

Попробуем ещё один пример сложения дробей.

Формулы для решения задач на дроби для 5 класса

В 5 классе на уроках математики ученики знакомятся с дробями и процентами. В 6 классе эта тема повторяется, но изучается более глубоко. А встречаться дроби и проценты продолжат вплоть до задач внешнего тестирования (ЗНО) для 11 класса.

Обыкновенная дробь - это пара чисел, записанных через черту.
Число под чертой (знаменатель), показывает, на сколько частей разделили целое.
Число над чертой (числитель) показывает, сколько этих частей выбрано.

То есть дробь $\frac{3}{8}$ (три восьмых) означает, что целое было разделено на 8 частей, а взято из них три.

Существуют три класса задач на дроби: нахождение дроби от числа, нахождение числа по его дроби и выражение отношения чисел в виде дроби.

Как найти дробь от числа

В задачах на дробь от  числа известно само число и дробь, которая от него взята. А найти требуется, какую величину составит эта дробь. Рассмотрим такую задачу

Пример 1.1.
В самолёте 120 пассажиров. $\frac{2}{5}$ (две пятых) из них летят в самолёте в первый раз. Сколько пассажиров летит в первый раз?
Это задача на нахождение дроби от числа.
Есть число: 120.
Есть дробь: $\frac{2}{5}$
Нужно найти, чему равны две пятых от 120.

Решаются задачи на нахождение дроби от числа так.

Решение задачи по просьбе читателя

По просьбе читателя блога разбираю решение задачи с параметром, которая вполне может попасться на ЗНО.

Условие.

Найдите наименьшее целое значение параметра а, при котором уравнение $\frac{5}{3x-a}=\frac{3}{ax-4}$ имеет положительный корень.

Решение.
Т.к. в уравнении дроби, то прежде всего найдём ОДЗ. Знаменатели не должны равняться нулю.
$3x-a\neq 0$
$x\neq\frac{a}{3}$

$ax-4\neq 0$
$x\neq\frac{4}{a}$

Вторая часть ЗНО по математике: алгебраические выражения и теория вероятности

Во второй части ЗНО по математике требуется установить соответствия между четырьмя объектами, пронумерованными 1, 2, 3, 4 и пятью другими объектами, обозначенными буквами А, Б, В, Г, Д.

Задача 22. Алгебра. Выражения
Установите соответствие  между заданным выражением (1-4) и тождественным ему (А-Д), при условии, что $a\neq 0; a\neq 1; a\neq -1$

1. $\frac{a}{a+1}\cdot\frac{a^2-1}{a}$
2. $a^2+\frac{a^3-1}{1-a}$
3. $\frac{1-a}{a}:\frac{a^2-1}{a}$
4. $\frac{a-2}{a-1}-1$

А. a-1
Б. -a-1
В. $-\frac{1}{a+1}$
Г. $-\frac{1}{a-1}$
Д. $a+1$

Решение