Формулы для решения задач на дроби для 5 класса

В 5 классе на уроках математики ученики знакомятся с дробями и процентами. В 6 классе эта тема повторяется, но изучается более глубоко. А встречаться дроби и проценты продолжат вплоть до задач внешнего тестирования (ЗНО) для 11 класса.

Обыкновенная дробь - это пара чисел, записанных через черту.
Число под чертой (знаменатель), показывает, на сколько частей разделили целое.
Число над чертой (числитель) показывает, сколько этих частей выбрано.

То есть дробь $\frac{3}{8}$ (три восьмых) означает, что целое было разделено на 8 частей, а взято из них три.

Существуют три класса задач на дроби: нахождение дроби от числа, нахождение числа по его дроби и выражение отношения чисел в виде дроби.

Как найти дробь от числа

В задачах на дробь от  числа известно само число и дробь, которая от него взята. А найти требуется, какую величину составит эта дробь. Рассмотрим такую задачу

Пример 1.1.
В самолёте 120 пассажиров. $\frac{2}{5}$ (две пятых) из них летят в самолёте в первый раз. Сколько пассажиров летит в первый раз?
Это задача на нахождение дроби от числа.
Есть число: 120.
Есть дробь: $\frac{2}{5}$
Нужно найти, чему равны две пятых от 120.

Решаются задачи на нахождение дроби от числа так.

Решение
Задаём себе два вопроса:
1. Чему равна $\frac{1}{5}$ (одна пятая) от 120?
Для этого 120 делим на 5, получаем 24.
2. Чему равны $\frac{2}{5}$ (две пятых) от 120?
Результат 24, корый мы получили, нужно умножить на 2.
Получаем 48.

Значит, $\frac{2}{5}$ от 120 составляет 48.
Ответ: 48 пассажиров летят впервые.

Попробуем решить ещё одну задачу на нахождение дроби от числа.
Пример 1.2.
В городе живут 1 500 000 человек. Из них $\frac{3}{25}$ - школьники. Сколько в городе школьников?

Решение
1. Чему равна $\frac{1}{25}$ от 1 500 000?
1 500 000:25 = 60 000
2. Чему равны $\frac{2}{25}$ от 1 500 000?
60 000*3 = 180 000

Ответ: 180 000 школьников.

Когда вы набрались опыта решать такие задачи по вопросам, эти два вопроса можно свести в одно действие и использовать правило:
Чтобы найти дробь от числа, нужно это число умножить на дробь
Или, что то же самое:
Чтобы найти дробь от числа, нужно это число разделить на знаменатель дроби и умножить на её числитель

Пример 1.3.
В автосалон завезли 14 автомобилей. За месяц продали 2/7 этого количества. Сколько автомобилей продали?

Решение
Умножим 14 на $\frac{2}{7}$:
$14\cdot \frac{2}{7} = \frac{14\cdot 2}{7} = 2\cdot 2 = 4$

Ответ: 4 автомобиля.

Теперь рассмотрим задачи второго типа:

Как найти число по дроби

В задачах этого типа исходное число неизвестно. Зато известна величина некоторой части от этого числа и какую дробь составляет эта часть от исходного числа. Для удобства рассмотрим, как бы выглядели эти же три задачи, если бы в них требовалось найти число по дроби.

Пример 2.1.
В самолёте сидят пассажиры (сколько их неизвестно!). Известно, что 48 пассажиров или $\frac{2}{5}$ (две пятых) от их количества летят впервые. Нужно найти: сколько всего пассажирова в самолёте?

Решение
Эти 48 пассажиров, которые летят впервые, составляют две пятых ($\frac{2}{5}$) от общего количества пассажиров в салоне. Мы можем найти одну пятую?
Да, нужно 48 разделить на 2.
48:2 = 24.
Мы узнали, что одна пятая часть от всех пассажиров - это 24 человека. Сколько всего пассажиров? В пять раз больше, то есть 24х5 = 120.

Ответ: 120 пассажиров всегов самолёте

Понятно? Давайте разберём ещё одну задачу.
Пример 2.2.
Три двадцать пятых ($\frac{3}{25}$) населения города составляют школьники. Школьников в городе 180 000. Каково общее население города?

Решение
Опять само число (то есть население города) на неизвестно, зато известно, чему равны $\frac{3}{25}$ от него.Значит, можно сначала найти, чему равна $\frac{1}{25}$ от населения города. Разделим 180 000 на 3:
180 000:3 = 60 000

Зная одну двадцать пятую, можно найти и целое, умножив 60 000 на 25.
60 000х25 = 1 500 000

Ответ: в городе 1 500 000 жителей

Когда будете уверенно решать задачи на нахождение числа по его дроби по вопросам, можно будет заменить эти вопросы одним действием и использовать правило:

Чтобы найти число по его дроби, известную величину нужно разделить на эту дробь
Или, что то же самое:
Чтобы найти число по его дроби, известную величину нужно разделить на числитель дроби и умножить на её знаменатель

Пример 2.3.
Из завезённых в автосалон автомобилей за месяц продали удалось продать всего 4, что составляет 2/7 всех автомобилей. Сколько автомобилей завезли в салон?

Решение
Разделим 4 на $\frac{2}{7}$:
$4: \frac{2}{7} = \frac{4\cdot 7}{2} = 2\cdot 7 = 14$

Ответ: 14 автомобилей завезли в салон.

И перейдём теперь к третьему типу задач на дроби, которые изучаются в математике 5 класса:

Как найти отношение двух чисел и выразить его в виде дроби

В задачах на нахождение отношения оба числа известны, а нужно найти, какую дробь второе число составляет от первого. Решаются они проще всего

Пример 3.1.
В самолёте 120 пассажиров. Из них 48 человек летят в первый раз. Какая часть пассажиров летит в первый раз?

Решение
Чтобы найти, какую дробь 48 составляет от общего количества пассажиров (120), нужно 48 разлелить на 120 и затем скоратить, что возможно.
Доля летящих впервые пассажиров составляет $\frac{48}{120}$.

И числитель, и знаменатель делятся на 2, значит, можно сократить на 2.
$\frac{48}{120}=\frac{24}{60}$

Сократим ещё раз на 2:
$\frac{24}{60} = \frac{12}{30}$

И ещё раз:
$\frac{12}{30} = \frac{6}{15}$

Теперь можно сократить на 3:
$\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

Больше сокращать не на что - это и можно записать как окончательный ответ задачи.
Ответ: $\frac{2}{5}$ пассажиров летят впервые.

Так что правило для решения задач на нахождение отношения чисел самое простое:
Чтобы найти, в виде какой дроби выражается отноешние двух чисел, нужно сначала записать дробь, в которой числитель и знаменатель - эти числа, а затем сократить её.

Обратите внимание, что дробь $\frac{A}{B}$ обозначает, какую долю величина А составляет от величины В и правильно записывайте величины в числитель и знаменатель.

Разберём ещё два примера.

Пример 3.2.
В городе с населением 1 500 000 жителей живут 180 000 школьников. Какую часть населения города составляют школьники?

Решение
Нужно найти, какую часть 180 000 составляет от 1 500 000?
Записываем дробь и сокращаем:
$\frac{180000}{1500000}=\frac{18}{150}=\frac{9}{75}=\frac{3}{25}$

Ответ: школьники составляют $\frac{3}{25}$ от общего населения города

Пример 3.3.
Из завезённых в автосалон автомобилей за месяц продали удалось продать всего 4. Какую часть от всех автомобилей это составляет, если всегов автомалон завезли 14 машин?

Решение
Точно так же, берём дробь $\frac{4}{14}$ и сокращаем:
$\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$

Ответ: продали $\frac{2}{7}$ от общего количества автомобилей.

Вот как решаются задачи на дроби. Вы найдёте справочники по формулам математики 5, 6 и других классов в разделе "Математика в школе".