Синусы каких углов выражаются формулами?

В 8 классе ученики заучивают таблицу синусов и других тригонометрических функций. Она выглядит так:

Школьная таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

угол $\alpha$, o	0	30	45	60	90
sin$\alpha$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
cos$\alpha$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
tg$\alpha$	0	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	1	$\sqrt{3}$	-
ctg$\alpha$	-	$\sqrt{3}$	1	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	0

Есть очень хороший мнемонический приём, позволяющий запомнить значения тригонометрических функций табличных углов. Однако составители ЗНО, видимо, считают, что держать эти числа в голове не стоит, потому как всегда помещают тригонометрическую таблицу на обложку тетрадей с задачами тестирования.

Нерадивые ученики наличием такой таблицы объясняют своё нежелание заучивать формулы. Но у интересующихся математикой закономерно возникает другой вопрос - а выражаются ли с помощью формул с корнями синусы других целых углов?

Как складывать дроби

Одна читательница в соцсети задала вопрос о том, как сложить дроби. Это хорошая тема для нашего математического школьного справочника.

Самый простой способ сложения дробей

Допустим, нам надо сложить дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{7}$. А складывать можно только дроби с одинаковым знаменателем. На помощь в этом случае приходит основное свойство дроби, изучаемое в 6м классе: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то дробь не изменится.

Поэтому числитель и знаменатель первой дроби, $\frac{3}{5}$, умножим на знаменатель второй дроби, 7. Получаем дробь $\frac{21}{35}$. А числитель и знаменатель второй дроби, $\frac{4}{7}$, умножаем на знаменатель первой, то есть на 5. Получаем дробь $\frac{20}{35}$.

У нас получилась пара дробей с одинаковыми знаменателями. Поэтому просто складываем числители, а знаменатель оставляем.

$\frac{3}{5}+\frac{4}{7} = \frac{21}{35}+\frac{20}{35} = \frac{21+20}{35}=\frac{41}{35}$

Готово!

Попробуем ещё один пример сложения дробей.

Формулы сокращённого умножения - камень преткновения в алгебре 8 класса

Действительно, формулы сокращённого умножения давно вызывают затруднения у школьников, которые пытаются их механически выучить, не понимая принципа. Они, например, упоминаются в хорошем юмористическом рассказе Юрия Сотника "Крокодилёнок" 1950 года.

В то же время использоваться они будут не только в восьмом классе, но и во всей последующей математике, вплоть до задач внешнего тестирования. В этом выпуске "школьного математического справочника" мы сначала представим формулы, а затем расскажем, как они выводятся.

Список формул сокращённого умножения

Выражения с квадратами

1. Как раскрыть квадрат суммы:
Квадрат суммы двух величин равен сумме квадратов этих величин и удвоенного произведения первой величины на вторую.

(a+b)² = a²+2ab+b²

2. Как раскрыть квадрат разности:
Квадрат разности двух величин равен сумме квадратов этих величин, уменьшенному на удвоенное произведение первой величины на вторую.

(a-b)² = a²-2ab+b²

Как называются очень большие числа

В математике пятого класса она из первых тем - это позиционная система счисления. Все знают, что, например, цифра 1 может означать разное число в зависимости от того, на каком месте она стоит. Наша система счисления десятичная, поэтому разрядные единицы отличаются  в 10 раз.

Если хотите узнать, при чём тут Малыш и Карлсон, сколько цифр в квадриллионе и почему европейцев поражает  значение госдолга США всего-навсего в триллион долларов - читайте дальше!

Начальные разрядные единицы это:
1 - единица
10 - десять
100 - сто
1000 - тысяча

Далее идут
10 000 - десять тысяч (в Древней Греции это число называлось мириада и до Архимеда греки считали, что его достаточно, чтобы подсчитать всё на свете).
100 000 - сто тысяч
1 000 000 - миллион. (Кстати, у чисел сто и миллион есть одна интересная особенность. Подумайте, какая, а ответ вы найдёте в блоге о занимательной математике "Десять букв")

После миллиона принцип формирования названий разрядных единиц такой.

Формулы для решения задач на дроби для 5 класса

В 5 классе на уроках математики ученики знакомятся с дробями и процентами. В 6 классе эта тема повторяется, но изучается более глубоко. А встречаться дроби и проценты продолжат вплоть до задач внешнего тестирования (ЗНО) для 11 класса.

Обыкновенная дробь - это пара чисел, записанных через черту.
Число под чертой (знаменатель), показывает, на сколько частей разделили целое.
Число над чертой (числитель) показывает, сколько этих частей выбрано.

То есть дробь $\frac{3}{8}$ (три восьмых) означает, что целое было разделено на 8 частей, а взято из них три.

Существуют три класса задач на дроби: нахождение дроби от числа, нахождение числа по его дроби и выражение отношения чисел в виде дроби.

Как найти дробь от числа

В задачах на дробь от  числа известно само число и дробь, которая от него взята. А найти требуется, какую величину составит эта дробь. Рассмотрим такую задачу

Пример 1.1.
В самолёте 120 пассажиров. $\frac{2}{5}$ (две пятых) из них летят в самолёте в первый раз. Сколько пассажиров летит в первый раз?
Это задача на нахождение дроби от числа.
Есть число: 120.
Есть дробь: $\frac{2}{5}$
Нужно найти, чему равны две пятых от 120.

Решаются задачи на нахождение дроби от числа так.

По каким формулам можно вычислить площадь треугольника

Геометрия 8 класса - это, в основном, площади фигур. Во многих задачах фигурирует треугольник, некоторые элементы которого известны, и требуется найти площадь.

Здесь мы систематизируем формулы площади треугольника, грамотно применяя которые вы сможете решить любую задачу 8 класса по геометрии, а то и олимпиадную геометрическую задачу в 8, 9 или 10 классе.

1. Формула площади треугольника по основанию и высоте

Если в треугольнике известны основание a и проведённая к нему высота h_a, то площадь его будет равна полупроизведению основания на высоту.

$S=\frac{1}{2}a h_a$

2. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Если в треугольнике известны две стороны a и b и угол между ними $\alpha$, то его площадь равна полупроизведению сторон на синус угла между ними.

$S=\frac{1}{2}ab\sin\alpha$

3. Формула площади треугольника по трём сторонам (формула Герона)

Интересные признаки делимости, о которых обычно не рассказывают в 6 классе

Математика в 6 классе начинается с изучения понятия делимости и признаков делимости. Часто ограничиваются признаками делимости на такие числа:

• На 2: последняя цифра должна быть 0, 2, 4, 6 или 8;
• На 3: сумма цифр числа должна делиться на 3;
• На 4: число, образованное последними двумя цифрами, должно делиться на 4;
• На 5: последняя цифра должна быть 0 или 5;
• На 6: число должно обладать признаками делимости на 2 и на 3;
• Признак делимости на 7 часто пропускается;
• Редко таже рассказывают и о признаке делимости на 8, хотя он аналогичен признакам делимости на 2 и на 4. Чтобы число делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы трёхцифреное окончание делилось на 8.
• Признак делимости на 9 знают все: сумма цифр числа должна делиться на 9. Что, правда, не развивает иммунитет против всяческих трюков с датами, которые используют нумерологи.
• Признак делимости на 10, наверное, самый простой: число должно оканчиваться нулём.
• Иногда шестиклассникам рассказывают и о признаке делимости на 11. Нужно цифры числа, стоящие на чётных местах сложить, из результата вычесть цифры, стоящие на нечётных местах. Если результат будет делиться на 11, то и само число делится на 11.

Вернёмся теперь к признаку делимости на 7. Если о нём рассказывают, тот объединяют с признаком делимости на 13 и советуют использовать так.

Берём число. Разбиваем его на блоки по 3 цифры в каждом (самый левый блок может содержать одну или 2 цифры) и попеременно складываем/вычитаем эти блоки.

Если результат делится на 7, 13 (или 11), то и само число делится на 7, 13 (илb 11).

Основан этот способ, как и ряд математических фокусов на том, что 7х11х13 = 1001. Однако что делать с трехзначными числами, для которых вопрос делимости, бывает, тоже не решить без самого деления.

Используя универсальный признак делимости, можно построить относительно простые алгоритмы определения, делится ли число на 7 и другие "неудобные" числа.

Справочник формул: как преобразовать сумму тригонометрический функций в произведение и наоборот

Этим постом мы открываем новую рубрику: Справочник. Здесь будут собраны формулы, готовые к употреблению. Параллельно для лучшего понимания эти статьи будут снабжаться ссылками на матераиалы, объясняющими, почему формулы именно такие, а не иные.

Начнём с тригонометрии.

Как преобразовать сумму или разность тригонометрических функций в произведение.

1. Сумма синусов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на косинус полуразности.
$\sin a+\sin a = 2 \sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$
2. Разность синусов равна удвоенному произведению синуса полуразности на косинус полусуммы.
$\sin a-\sin b = 2 \sin \frac{a-b}{2}\cos \frac{a+b}{2}$
3. Сумма косинусов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы на косинус полуразности.
$\cos a+\cos b = 2 \cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$