Как Ричард Фейнман победил японского вычислителя

В книге нобелевского лауреата Ричарда Фейнмана "Вы, конечно же, шутите, мистер Фейнман", описывается интересное математическое состязание. Приводим его с нашими математическими комментариями по переводу книги из Библиотеки Мошкова.

Первое время, когда я приехал в Бразилию, я не знал, в какое время там принято обедать. Я приходил в рестораны, когда там никого не было, заказывал рис со стейком (который очень любил), а четыре официанта стояли вокруг.

Как-то в ресторан зашел японец. Я видел его раньше, он бродил поблизости, пытаясь продавать счеты. Он заговорил с официантами и бросил им вызов, сказав, что может складывать числа быстрее, чем кто-либо другой. Они не очень-то хотели терять лицо и сказали: "Да, конечно. Почему бы тебе ни поспорить вон с тем посетителем?"

Он подошел ко мне, но я запротестовал: "Но я не достаточно хорошо говорю по-португальски!"

Официанты засмеялись и сказали: "Числа - это просто".

Они принесли мне карандаш и бумагу.

Как складывать дроби

Одна читательница в соцсети задала вопрос о том, как сложить дроби. Это хорошая тема для нашего математического школьного справочника.

Самый простой способ сложения дробей

Допустим, нам надо сложить дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{7}$. А складывать можно только дроби с одинаковым знаменателем. На помощь в этом случае приходит основное свойство дроби, изучаемое в 6м классе: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то дробь не изменится.

Поэтому числитель и знаменатель первой дроби, $\frac{3}{5}$, умножим на знаменатель второй дроби, 7. Получаем дробь $\frac{21}{35}$. А числитель и знаменатель второй дроби, $\frac{4}{7}$, умножаем на знаменатель первой, то есть на 5. Получаем дробь $\frac{20}{35}$.

У нас получилась пара дробей с одинаковыми знаменателями. Поэтому просто складываем числители, а знаменатель оставляем.

$\frac{3}{5}+\frac{4}{7} = \frac{21}{35}+\frac{20}{35} = \frac{21+20}{35}=\frac{41}{35}$

Готово!

Попробуем ещё один пример сложения дробей.

Интересные признаки делимости, о которых обычно не рассказывают в 6 классе

Математика в 6 классе начинается с изучения понятия делимости и признаков делимости. Часто ограничиваются признаками делимости на такие числа:

• На 2: последняя цифра должна быть 0, 2, 4, 6 или 8;
• На 3: сумма цифр числа должна делиться на 3;
• На 4: число, образованное последними двумя цифрами, должно делиться на 4;
• На 5: последняя цифра должна быть 0 или 5;
• На 6: число должно обладать признаками делимости на 2 и на 3;
• Признак делимости на 7 часто пропускается;
• Редко таже рассказывают и о признаке делимости на 8, хотя он аналогичен признакам делимости на 2 и на 4. Чтобы число делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы трёхцифреное окончание делилось на 8.
• Признак делимости на 9 знают все: сумма цифр числа должна делиться на 9. Что, правда, не развивает иммунитет против всяческих трюков с датами, которые используют нумерологи.
• Признак делимости на 10, наверное, самый простой: число должно оканчиваться нулём.
• Иногда шестиклассникам рассказывают и о признаке делимости на 11. Нужно цифры числа, стоящие на чётных местах сложить, из результата вычесть цифры, стоящие на нечётных местах. Если результат будет делиться на 11, то и само число делится на 11.

Вернёмся теперь к признаку делимости на 7. Если о нём рассказывают, тот объединяют с признаком делимости на 13 и советуют использовать так.

Берём число. Разбиваем его на блоки по 3 цифры в каждом (самый левый блок может содержать одну или 2 цифры) и попеременно складываем/вычитаем эти блоки.

Если результат делится на 7, 13 (или 11), то и само число делится на 7, 13 (илb 11).

Основан этот способ, как и ряд математических фокусов на том, что 7х11х13 = 1001. Однако что делать с трехзначными числами, для которых вопрос делимости, бывает, тоже не решить без самого деления.

Используя универсальный признак делимости, можно построить относительно простые алгоритмы определения, делится ли число на 7 и другие "неудобные" числа.

Как доказывать олимпиадные неравенства

На семинаре координаторов олимпиады "Кенгуру" Вячеслав Андреевич Ясинский прочёл лекцию о том, как можно доказывать олимпиадные симметричные неравенства с помощью собственного метода разностей переменных.

Действительно, на математических олимпиадах часто встречаются задания на доказательство неравенств, как, например, такое, с Международной олимпиады по математике 2001 года: $\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq 1$ (для положительных a,b,c).

Обычно чтобы доказать олимпиадное неравенство, его нужно привести к одному из базовых: Коши, Коши-Буняковского, Йенсена, неравенству между средними и т.д. Причём часто приходится пробовать различные варианты базового неравенства до достижения успеха.

Однако часто у олимпиадных неравенств (как у приведённого выше) есть одна особенность. При перестановке переменных (например, замене a на b, b на c и  c на a) они не изменятся.

Если функция нескольких переменных не меняется при любой их перестановке, то она называется симметрической. Для симметрической функции f от трёх переменных выполняется равенство:
f(x,y,z)= f(x,z,y)= f(y,x,z)= f(y,z,x)= f(z,x,y)= f(z,y,x)

Если же функция не меняется только при циклической перестановке переменных, она называется циклической.
f(x,y,z)= f(y,z,x)= f(z,x,y)

Для неравенств, которые строятся на основе симметрических функций, Вячеслав Андреевич разработал универсальный метод доказательства.

Продолжаем готовиться к ЗНО

По просьбе читателя блога разберём задание ЗНО по математике на показательные неравенства.

Условие

Решите неравенство $3 \cdot 9^x -2\cdot 15^x -5^{2x+1}>0$

Если у неравенства есть целые решения, укажите наибольшее из них. Если у неравенства есть решения, но невозможно указать наибольшее целое из них, то укажите в ответе число 50. Если решений нет, в ответ запишите число 100.

Решение

В каждом слагаемом есть неизвестное в показателе. Преобразуем их немного:

Решение задачи по просьбе читателя

По просьбе читателя блога разбираю решение задачи с параметром, которая вполне может попасться на ЗНО.

Условие.

Найдите наименьшее целое значение параметра а, при котором уравнение $\frac{5}{3x-a}=\frac{3}{ax-4}$ имеет положительный корень.

Решение.
Т.к. в уравнении дроби, то прежде всего найдём ОДЗ. Знаменатели не должны равняться нулю.
$3x-a\neq 0$
$x\neq\frac{a}{3}$

$ax-4\neq 0$
$x\neq\frac{4}{a}$

ЗНО по математике: интеграл и метод интервалов

Задача 27. Интеграл
Вычислите $\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{5 ctg x \sin x dx}$

Решение
Преобразуем подынтегральное выражение

$ctg x \sin x = \frac{\cos x}{\sin x}\sin x=\cos x$
Таким образом, интеграл примет вид:

$\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{5 \cos x dx}=5\sin x | _{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}=5\left(\sin \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{6}\right)=5\left(1-\frac{1}{2}\right) = 2,5$

Ответ: 2,5

Чтобы решить эту задачу, нужно  знать:

• Связь между тригонометрическими функциями
• Таблицу первообразных
• Значения синусов табличных углов.

Задача 28. Решение неравенства
Решите неравенство $(18+2x)^2(x^2+8x+15)\leq 0$. В ответ запишите сумму всех целых решений.

Решение

Как находить бесконечные суммы: часть 2

В первой части мы нашли суммы следующих рядов:


.

Как находить бесконечные суммы: часть 1

Рассказ о суммировании бесконечных рядов начну анекдотом из математического фольклора, который я сегодня опубликовал на «Десяти Буквах»

В магазин пришло бесконечное множество математиков. Первый попросил килограмм сахара, второй - полкило, третий - четверть килограмма...
-Так! - прервал их продавец, - Забирайте свои два килограмма и проваливайте.

Итак, первый вопрос, который рассмотрим – почему сумма равна двум.

Механический генератор случайных чисел

В школе я увлекался настольными играми, в основном варгеймами. Придумывал правила, изготавливал поля, юниты и проводил с друзьями увлекательные баталии. Однако вскоре для моделирования различных игровых ситуаций перестало хватать стандартного игрового кубика, с помощью которого можно получать вероятности, кратные одной шестой. Поиск решения породил пару интересных математических задач, связанных с теорией вероятности.

Международный день числа пи

22 июля отмечается Международный день числа пи. А также по чистой (не?)случайности – это день рождения проекта Приглашение в мир математики. Поэтому сегодня мы разберёмся, каким образом дата 22.07 относится к числу пи, как запомнить побольше его знаков после запятой, и как получать хорошие рациональные приближения.

Вариации на тему игры Баше

Задача

На столе лежат 25 спичек. Два игрока по очереди могут брать 1, 2, 3 или 4 спички. Выигрывает тот, кто забирает последнюю спичку. Кто выиграет при правильной игре?
Решить ту же задачу, если игроки могут брать 1, 3 или 6 спичек.