Приближения числа пи из его цифр: промежуточные результаты с использованием степеней

При решении задачи выражения числа пи его цифрами, многие результаты, полученные с помощью только четырёх арифметических действий, удалось улучшить, использовав возведение в степень.

Для восьми цифр результат Наталии Макаровой:
3+1/4x1-5/9² = 3,13(8)
даёт такую же точность, как и формула без степеней. А для 9, 12, 14 и 19 цифр hippie на dxdy нашёл такие результаты:
3+1/4-1⁵/9+2^-6 /5=3,142013(8)
3+1/4-1⁵/9+2^-6/5-3^-5/8 = 3,1414994...
3+1/4-1⁵/9+2^-6/5-3^-5/8/9x7 = 3,14163797...
3+1/4-1⁵/9+2^-6/5-3^-5/8/9x7-9^-3/2³/8 = 3,141592363...

Они все являются десятичными периодическими дробями, просто периоды большинства будут достаточно длинными.

Поиграем с цифрами числа пи

Как стоит отмечать день числа пи? Придумать какое-то математическое развлечение, в котором бы фигурировало это число!

Давайте попробуем получить число, наиболее близкое к пи, составив арифметическое выражение из нескольких начальных цифр его десятичной записи.

При этом будем следовать правилам:

• Цифры в выражении должны идти в том же порядке, в каком они идут в записи числа пи
• Допускается использовать только сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень.

Вот несколько первых результатов:
3 (погрешность 0,14159...)
3х1 (погрешность 0,14159...)
3+1/4 (погрешность 0,10840...)
3+1/4х1 (погрешность 0,10840...)
3+1/4-1/5 (погрешность 0,09159...)
Сможете продолжить? Вот вам побольше цифр, берите из них первые 6, 7, 8 и т.д. и получайте свои формулы!
п = 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286...