Разбор самых простых задач математической олимпиады Кенгуру для 5-6 класса (задачи 1-6 уровня Ш-2015)

В уровне "Школьник" в Международной математической олимпиаде "Кенгуру" соревнуются ученики 5 и 6 классов. В этом уровне, как в в последующих, участникам даётся уже 30 задач, на выполнение которых выделяется 75 минут. Максимальное количество баллов, которые может набрать участник, равно 30+40+50 = 120.

Давайте начнём разбор решений и ответов с самых простых задач. Многие из них можно предложить и ученикам начальной школы, которые увлекаются математикой.

Задача 1. Половинка (3 балла).
В какой из изображённых в ответах фигур, закрашена ровно половина площади?

Варианты ответа:
А: ; Б: ; В: ; Г: ; Д: ;

Решение
Легко видеть, что ровно половина площади закрашена в ответе Б. А если время не поджимает, можно в качестве разминки пятикласснику предложить определить, какая часть каждой фигуры закрашена (и попутно вспомнить, что такое дробь).
В ответе А закрашена одна третья часть. В ответе Б - одна вторая, в ответе В - три четверти, в ответе Г - одна четверть. а в ответе Д закрашены две пятые.

Правильный ответ: Б 

Задача 2. Зонтик "Кенгуру" (3 балла).
На моём зонтике написано слово KANGAROO, как показано на рисунке. На каком из предложенных в ответах рисунков изображён НЕ мой зонтик?

Варианты ответа:
А: ; Б: ; В: ; Г: ; Д: ;

Решение
Эта задача почти такая же, как и задача для 3-4 классов, но чуть сложнее. Требуется найти конфигурацию, которой нет на зонтике, а не единственную, которая на нём есть.

Как решать задачу на проценты, определить процент отходов по массам нетто-брутто

Видимо, будущие шестиклассники готовятся к школе, решая задачи наперёд, или повторяют математику за пятый класс. Сегодня на "ответах" появился ряд просьб о помощи с похожими заданиями.

Приведём одну из них и покажем детально по шагам, как они решаются.

Задача на проценты

Для приготовления фреша было взято 3 килограмма апельсина (брутто). После ручной обработки мы получили 2.10 кг (нетто). Определите процент отходов.

Решение задачи на проценты

Задачи на проценты решаются почти так же, как и задачи на дроби. Просто стоит помнить, что один процент - это дробь одна сотая (отсюда и пошло название и символ процента).

Как складывать дроби

Одна читательница в соцсети задала вопрос о том, как сложить дроби. Это хорошая тема для нашего математического школьного справочника.

Самый простой способ сложения дробей

Допустим, нам надо сложить дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{7}$. А складывать можно только дроби с одинаковым знаменателем. На помощь в этом случае приходит основное свойство дроби, изучаемое в 6м классе: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то дробь не изменится.

Поэтому числитель и знаменатель первой дроби, $\frac{3}{5}$, умножим на знаменатель второй дроби, 7. Получаем дробь $\frac{21}{35}$. А числитель и знаменатель второй дроби, $\frac{4}{7}$, умножаем на знаменатель первой, то есть на 5. Получаем дробь $\frac{20}{35}$.

У нас получилась пара дробей с одинаковыми знаменателями. Поэтому просто складываем числители, а знаменатель оставляем.

$\frac{3}{5}+\frac{4}{7} = \frac{21}{35}+\frac{20}{35} = \frac{21+20}{35}=\frac{41}{35}$

Готово!

Попробуем ещё один пример сложения дробей.

Формулы для решения задач на дроби для 5 класса

В 5 классе на уроках математики ученики знакомятся с дробями и процентами. В 6 классе эта тема повторяется, но изучается более глубоко. А встречаться дроби и проценты продолжат вплоть до задач внешнего тестирования (ЗНО) для 11 класса.

Обыкновенная дробь - это пара чисел, записанных через черту.
Число под чертой (знаменатель), показывает, на сколько частей разделили целое.
Число над чертой (числитель) показывает, сколько этих частей выбрано.

То есть дробь $\frac{3}{8}$ (три восьмых) означает, что целое было разделено на 8 частей, а взято из них три.

Существуют три класса задач на дроби: нахождение дроби от числа, нахождение числа по его дроби и выражение отношения чисел в виде дроби.

Как найти дробь от числа

В задачах на дробь от  числа известно само число и дробь, которая от него взята. А найти требуется, какую величину составит эта дробь. Рассмотрим такую задачу

Пример 1.1.
В самолёте 120 пассажиров. $\frac{2}{5}$ (две пятых) из них летят в самолёте в первый раз. Сколько пассажиров летит в первый раз?
Это задача на нахождение дроби от числа.
Есть число: 120.
Есть дробь: $\frac{2}{5}$
Нужно найти, чему равны две пятых от 120.

Решаются задачи на нахождение дроби от числа так.

Интересные признаки делимости, о которых обычно не рассказывают в 6 классе

Математика в 6 классе начинается с изучения понятия делимости и признаков делимости. Часто ограничиваются признаками делимости на такие числа:

• На 2: последняя цифра должна быть 0, 2, 4, 6 или 8;
• На 3: сумма цифр числа должна делиться на 3;
• На 4: число, образованное последними двумя цифрами, должно делиться на 4;
• На 5: последняя цифра должна быть 0 или 5;
• На 6: число должно обладать признаками делимости на 2 и на 3;
• Признак делимости на 7 часто пропускается;
• Редко таже рассказывают и о признаке делимости на 8, хотя он аналогичен признакам делимости на 2 и на 4. Чтобы число делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы трёхцифреное окончание делилось на 8.
• Признак делимости на 9 знают все: сумма цифр числа должна делиться на 9. Что, правда, не развивает иммунитет против всяческих трюков с датами, которые используют нумерологи.
• Признак делимости на 10, наверное, самый простой: число должно оканчиваться нулём.
• Иногда шестиклассникам рассказывают и о признаке делимости на 11. Нужно цифры числа, стоящие на чётных местах сложить, из результата вычесть цифры, стоящие на нечётных местах. Если результат будет делиться на 11, то и само число делится на 11.

Вернёмся теперь к признаку делимости на 7. Если о нём рассказывают, тот объединяют с признаком делимости на 13 и советуют использовать так.

Берём число. Разбиваем его на блоки по 3 цифры в каждом (самый левый блок может содержать одну или 2 цифры) и попеременно складываем/вычитаем эти блоки.

Если результат делится на 7, 13 (или 11), то и само число делится на 7, 13 (илb 11).

Основан этот способ, как и ряд математических фокусов на том, что 7х11х13 = 1001. Однако что делать с трехзначными числами, для которых вопрос делимости, бывает, тоже не решить без самого деления.

Используя универсальный признак делимости, можно построить относительно простые алгоритмы определения, делится ли число на 7 и другие "неудобные" числа.

Пакет задач олимпиады Кенгуру №9: цифры, проценты, вероятность

Условия задач

Задача 42. Выпускник (11 класс), 3й уровень, 2009
Сколько существует 10-значных чисел, состоящих только из цифр 1, 2 и 3 таких, в которых соседние цифры отличаются на 1?
А: 16; Б: 32; В: 64; Г: 80; Д:100;

Пакет задач олимпиады Кенгуру №8: время, множества, логика

Условия задач

Задача 37. Студент (11 класс), 3й уровень, 2006
Сколько существует непустых подмножеств множества {1, 2, 3, ..., 12}, в которых сумма наибольшего и наименьшего элементов равна 13?
А: 1024; Б: 1175; В: 1365; Г: 1785; Д:4095;

Пакет задач олимпиады Кенгуру №7: комбинаторика, среднее, цифры

Условия задач

Задача 32. Студент (11 класс), 3й уровень, 1999 год
Сколькими способами можно прочесть слово KANGAROO, двигаясь только вниз и вправо?

K A N G A R O O
A N G A R O O
N G A R O O
G A R O O
A R O O
R O O
O O
O
А:168; Б:224; В:128; Г:256; Д:328;

Пакет задач олимпиады Кенгуру №6: антье, степень, цифры

Условия задач

Задача 27. Студент (11 класс), 3й уровень, 2005 год
При каком наибольшем значении параметра a выполняется неравенство $x^2=a[x]\{x\}$?,
А:1; Б:2; В:3; Г:4; Д:5;

Пакет задач олимпиады Кенгуру №5: вероятность, геометрия, логика

Условия задач

Задача 21. Выпускник (11 класс), 3й уровень, 2008 г.
Случайным образом в решётке 3х4 точек выбрали три из них.

* * * *
* * * *
* * * *
Какова вероятность того, что эти точки будут лежать на одной прямой?
А:1/12; Б:1/11; В:1/16; Г:1/8; Д:1/4;

Пакет задач олимпиады Кенгуру №4: последовательность, логика, арифметика

Условия задач

Задача 16. Студент (11 класс), 3й уровень, 2006 год
В озере плавает яблоко: 2/3 его под водой и 1/3 – над водой. К нему подплывает рыба и подлетает птица, и одновременно начинают его есть. Птица есть вдвое быстрее, чем рыба. Какую часть яблока съест птица?
А:1/3; Б:1/2; В:2/3; Г:3/5; Д:4/5;

Пакет задач олимпиады Кенгуру №3: взвешивания, логика, цифры

Условия задач

Задача 11. Студент (11 класс), 3й уровень, 2000 год
Какое наименьшее количество гирь необходимо, чтобы иметь возможность взвесить на чашечных весах любой груз массой от 1 до 10г? (Масса выражается только целым числом граммов и гири можно класть на обе чаши весов).
А:2; Б:3; В:4; Г:5; Д:10;

Пакет задач олимпиады Кенгуру №2: комбинаторика, логика, цифры

Условия задач

Задача 6. Студент (11 класс), 3й уровень, 2004 год
На гранях куба написаны некоторые натуральные числа, и у каждой вершины написано число, равное произведению чисел на гранях, прилежащих к этой вершине. Сумма чисел на вершинах равна 100. Тогда наибольшая возможная сумма чисел на гранях равна:
А:14; Б:17; В:25; Г:29; Д:100;

Пакет задач олимпиады Кенгуру №1: комбинаторика, логика, взвешивания

Условия задач

Задача 1. Студент (11 класс), 3й уровень, 1998 год
Сколько существует наборов из двух или более последовательных натуральных чисел, сумма которых равна 100?
А:1; Б:2; В:3; Г:4; Д:5;