Синусы каких углов выражаются формулами?

В 8 классе ученики заучивают таблицу синусов и других тригонометрических функций. Она выглядит так:

Школьная таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

угол $\alpha$, o	0	30	45	60	90
sin$\alpha$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
cos$\alpha$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
tg$\alpha$	0	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	1	$\sqrt{3}$	-
ctg$\alpha$	-	$\sqrt{3}$	1	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	0

Есть очень хороший мнемонический приём, позволяющий запомнить значения тригонометрических функций табличных углов. Однако составители ЗНО, видимо, считают, что держать эти числа в голове не стоит, потому как всегда помещают тригонометрическую таблицу на обложку тетрадей с задачами тестирования.

Нерадивые ученики наличием такой таблицы объясняют своё нежелание заучивать формулы. Но у интересующихся математикой закономерно возникает другой вопрос - а выражаются ли с помощью формул с корнями синусы других целых углов?

Поиграем с цифрами числа пи

Как стоит отмечать день числа пи? Придумать какое-то математическое развлечение, в котором бы фигурировало это число!

Давайте попробуем получить число, наиболее близкое к пи, составив арифметическое выражение из нескольких начальных цифр его десятичной записи.

При этом будем следовать правилам:

• Цифры в выражении должны идти в том же порядке, в каком они идут в записи числа пи
• Допускается использовать только сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень.

Вот несколько первых результатов:
3 (погрешность 0,14159...)
3х1 (погрешность 0,14159...)
3+1/4 (погрешность 0,10840...)
3+1/4х1 (погрешность 0,10840...)
3+1/4-1/5 (погрешность 0,09159...)
Сможете продолжить? Вот вам побольше цифр, берите из них первые 6, 7, 8 и т.д. и получайте свои формулы!
п = 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286...