Формулы приближения числа пи из собственных цифр (без использования степеней)

Идея игры с цифрами числа пи многим посетителям математических сообществ пришлась по вкусу.

Сразу fiviol на dxdy улучшил результат с пятью цифрами.
$3\cdot 1^4+1/5 = \pi+0.0584\dots$

Как указал Антон в комментарии к этому блогу, такой результат можно получить даже не прибегая к степени:
3+1-4*1/5 = 3.2

Вообще, среди результатов можно выделить три направления:

• Решения с дополнительным ограничением даже на использование степеней, выражающие число пи только четырьмя арифметическими действиями;
• Решения в базовом наборе правил;
• Решения в расширенном наборе правил, со сцеплением цифр и скобками.

Варианты выражения числа пи без степеней можно полностью исследовать до большего количества цифр, чем остальные. Вот какие на данный момент получаются наилучшие приближения. Часть их была получена в сообществе "Типичный математик", часть - на dxdy и часть - мною.

3 = 3
3*1 = 3
3+1/4 = 3.25
3+1/4*1 = 3.25
3+1-4*1/5 = 3.2
3+1/4*1*5/9 = 3.13(8)
3+1/4+1-5/9*2 = 3.13(8)
-3+1/4+1-5/9*2+6 = 3.13(8)
3+1/4-1*5/9*2+6-5=3.13(8)
3+1/4+1-5/9-2/6*5/3 = 3.13(8)
3-1/4+1*5/9*2-6/5*3/5 = 3.14(1)
3+1+4+1/5/9/2*6-5+3/5/8 = 3.141(6)

Задание с сайта пробного ЗНО

По просьбе читательницы блога, провожу разбор задачи с сайта пробного ЗНО.

Условие
Найти сумму всех целых корней неравенства
$\frac{3}{х-2}+ \frac{4}{х}\geq 1$

Решение

Число 142857 и подобные ему

Число 142857 часто фигурирует в числовых фокусах «быстрого умножения» или в списках чисел с занимательными свойствами. И есть отчего. Ведь произведения этого числа на 2, 3, 4, 5 и 6 получаются из исходного циклической перестановкой цифр:

142857x2 = 285714
142857x3 = 428571
142857x4 = 571428
142857x5 = 714285
142857x6 = 857142

Почему же это число такое особенное?

Как находить бесконечные суммы: часть 1

Рассказ о суммировании бесконечных рядов начну анекдотом из математического фольклора, который я сегодня опубликовал на «Десяти Буквах»

В магазин пришло бесконечное множество математиков. Первый попросил килограмм сахара, второй - полкило, третий - четверть килограмма...
-Так! - прервал их продавец, - Забирайте свои два килограмма и проваливайте.

Итак, первый вопрос, который рассмотрим – почему сумма равна двум.

Решение задачи 1. Приближение произведением

Условие задачи
Отношение двух наименьших трёхзначных простых чисел равно =0,980583…

Найдите несколько таких простых дробей с числителями и знаменателями, не превосходящими 50, произведение которых отличалось бы от менее чем на 10^-5

Международный день числа пи

22 июля отмечается Международный день числа пи. А также по чистой (не?)случайности – это день рождения проекта Приглашение в мир математики. Поэтому сегодня мы разберёмся, каким образом дата 22.07 относится к числу пи, как запомнить побольше его знаков после запятой, и как получать хорошие рациональные приближения.