Разбор задач 7-12 для 3 и 4 классов математической олимпиады Кенгуру(уровень М3-4 2015)

В этом выпуске мы завершим разбор простых задач математической олимпиады "Кенгуру-2015" для 3 и 4 классов и перейдём к средним.

Задача 7. Карточки с картинками (3 балла).
У Красунчика есть 5 карточек, вот они:

Есть карточки, на которых с одной стороны нарисован цветок, а с другой - собака. А есть такие, на которых с одной стороны нарисована кошка, а с другой - дерево. Сколько карточек с цветочками у Красунчика?

Варианты ответа:
А: 1; Б: 2; В: 3; Г: 4; Д: 5;

Решение
Из условия понятно, что на карточках рисунки с двух сторон. Нам надо определить, какие рисунки на тех сторонах, которые не видны. Так как "одна"  и "другая" стороны карточки равноценны, то утверждения из условия работают в обе стороны. Выходит, на первой карточке под деревом нарисована кошка. На второй под собакой - цветок. На третьей под кошкой - дерево. На четвёртой карточке снова под собакой нарисован цветок. И на пятой под цветком нарисована собака. Выходит, всего карточек с цветками три: вторая, четвёртая и пятая.

Кстати, двусторонние карточки используются в одной классической задаче на математическую логику, о которой мы как-нибудь расскажем в разделе Занимательной математики.

Правильный ответ: В 3

Задача 8. Зонтик "Кенгуру" (3 балла).
На моём зонтике написано слово KANGAROO, как показано на рисунке. На каком из предложенных в ответах рисунков тоже изображён мой зонтик?
Эта задача проходит через несколько классов и использовалась для мониторинга уровня учеников.

Варианты ответа:
А: ; Б: ; В: ; Г: ; Д: ;

Решение

Интересный способ решать кубическое уравнение

Иногда попадаются кубические уравнения типа такого
$x^3-(\sqrt{2}+1) x^2+2=0$

Мало того, что оно кубическое, неприведённое, так в нём ещё иррациональные коэффициенты. Прямо руки опускаются, если не знать одной хитрости.

Обратим внимание, что среди коэффициентов уравнения имеются двойка и корень из двух. Сделаем замену $y = \sqrt{2}$

Уравнение примет вид:

$x^3-y\cdot x^2 -x^2+y^2=0$

Относительно икса оно кубическое, а относительно игрека - квадратное. Вот и решим его относительно игрека:

$y^2 -x^2 \cdot y +x^3 -x^2=0$